問題は、以下の5つの問題から構成されています。 * 問題7: * (1) $\sqrt{24n}$が自然数となるような最小の自然数 $n$ を求める。 * (2) $\sqrt{20-n}$が自然数となるようなすべての自然数 $n$ を求める。 * 問題8: 1辺6cmと1辺9cmの正方形の面積の和に等しい面積の正方形の1辺の長さを求める。 * 問題9: 面積50cm$^2$の正方形の1辺の長さが、面積20cm$^2$の正方形の1辺の長さの何倍かを求める。 * 問題10: $\sqrt{2}$の小数部分を $a$ とするとき、$a^2 - 2a$の値を求める。 * 問題11: ある数$a$の一の位以下を四捨五入した近似値が280であるとする。 * (1) $a$ の範囲を不等号で表す。 * (2) 誤差の絶対値がいくつ以下と言えるか。

1. 問題の内容

問題は、以下の5つの問題から構成されています。

* 問題7:

* (1) $\sqrt{24n}$が自然数となるような最小の自然数 $n$ を求める。

* (2) $\sqrt{20-n}$が自然数となるようなすべての自然数 $n$ を求める。

* 問題8: 1辺6cmと1辺9cmの正方形の面積の和に等しい面積の正方形の1辺の長さを求める。

* 問題9: 面積50cm$^2$の正方形の1辺の長さが、面積20cm$^2$の正方形の1辺の長さの何倍かを求める。

* 問題10: $\sqrt{2}$の小数部分を $a$ とするとき、$a^2 - 2a$の値を求める。

* 問題11: ある数$a$の一の位以下を四捨五入した近似値が280であるとする。

* (1) $a$ の範囲を不等号で表す。

* (2) 誤差の絶対値がいくつ以下と言えるか。

2. 解き方の手順

* 問題7:

* (1) $\sqrt{24n}$が自然数になるためには、$24n$が平方数である必要があります。$24 = 2^3 \times 3$なので、$n = 2 \times 3 = 6$とすると、$24n = 2^4 \times 3^2 = (2^2 \times 3)^2 = 12^2$となり、$\sqrt{24n} = 12$となります。

* (2) $\sqrt{20-n}$が自然数となるためには、$20-n$が0以上の平方数である必要があります。つまり、$20-n = 0, 1, 4, 9, 16$となる必要があります。したがって、$n = 20, 19, 16, 11, 4$です。

* 問題8:

* 面積の和は、$6^2 + 9^2 = 36 + 81 = 117$ cm$^2$です。求める正方形の1辺の長さを $x$ とすると、$x^2 = 117$なので、$x = \sqrt{117} = \sqrt{9 \times 13} = 3\sqrt{13}$ cmです。

* 問題9:

* 面積50cm$^2$の正方形の1辺の長さは$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$cmです。面積20cm$^2$の正方形の1辺の長さは$\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$cmです。求める倍数は、$\frac{5\sqrt{2}}{2\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{2}\sqrt{5}}{2\sqrt{5}\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{2}$倍です。

* 問題10:

* $\sqrt{2} = 1.4142...$なので、小数部分 $a = \sqrt{2} - 1$です。 $a^2 - 2a = (\sqrt{2} - 1)^2 - 2(\sqrt{2} - 1) = (2 - 2\sqrt{2} + 1) - (2\sqrt{2} - 2) = 3 - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + 2 = 5 - 4\sqrt{2}$です。あるいは、$a^2 - 2a = a(a - 2) = (\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} - 1 - 2) = (\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} - 3) = 2 - 3\sqrt{2} - \sqrt{2} + 3 = 5 - 4\sqrt{2}$

* 問題11:

* (1) 四捨五入して280になるということは、279.5以上280.5未満であるということです。したがって、$279.5 \le a < 280.5$です。

* (2) 誤差の絶対値は、最大で0.5です。

3. 最終的な答え

* 問題7:

* (1) $n = 6$

* (2) $n = 4, 11, 16, 19, 20$

* 問題8: $3\sqrt{13}$ cm

* 問題9: $\frac{\sqrt{10}}{2}$ 倍

* 問題10: $5 - 4\sqrt{2}$

* 問題11:

* (1) $279.5 \le a < 280.5$

* (2) 0.5以下