問題は、与えられた不等式 $n < 2\sqrt{13} < n+1$ を満たす整数 $n$ を求め、実数 $a, b$ を $a=2\sqrt{13} - n$, $b=1/a$ で定め、その後 $b$ の値を簡単な形で表し、$a^2 - 9b^2$ の値を求める問題です。また、$\sqrt{13}$ の整数部分と小数第1位、第2位の数字を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、与えられた不等式 $n < 2\sqrt{13} < n+1$ を満たす整数 $n$ を求め、実数 $a, b$ を $a=2\sqrt{13} - n$, $b=1/a$ で定め、その後 $b$ の値を簡単な形で表し、$a^2 - 9b^2$ の値を求める問題です。また、$\sqrt{13}$ の整数部分と小数第1位、第2位の数字を求める問題です。

2. 解き方の手順

* **アを求める:**

$n < 2\sqrt{13} < n+1$ を満たす整数 $n$ を求める。$\sqrt{13} \approx \sqrt{9} = 3$ であり、$\sqrt{13}$ は3より少し大きい数である。

$2\sqrt{13}$ は6より少し大きい。実際に計算すると、$2\sqrt{13} \approx 2 \times 3.605 = 7.21$ であるから、$n=7$ である。

* **⑤を求める:**

$n=7$ より、$\frac{7}{2} < \sqrt{13} < \frac{8}{2} = 4$ となる。つまり、$\frac{7}{2} < \sqrt{13} < 4$ である。

* **aを求める:**

$a = 2\sqrt{13} - 7$

* **bを求める:**

$b = \frac{1}{a} = \frac{1}{2\sqrt{13} - 7} = \frac{2\sqrt{13} + 7}{(2\sqrt{13} - 7)(2\sqrt{13} + 7)} = \frac{2\sqrt{13} + 7}{4 \times 13 - 49} = \frac{2\sqrt{13} + 7}{52 - 49} = \frac{2\sqrt{13} + 7}{3}$

よって、$b = \frac{7 + 2\sqrt{13}}{3}$ であるから、イは7、ウは3である。

* **$a^2 - 9b^2$ を求める:**

$a^2 - 9b^2 = (2\sqrt{13} - 7)^2 - 9(\frac{7 + 2\sqrt{13}}{3})^2 = (2\sqrt{13} - 7)^2 - (7 + 2\sqrt{13})^2 = (52 - 28\sqrt{13} + 49) - (49 + 28\sqrt{13} + 52) = 101 - 28\sqrt{13} - (101 + 28\sqrt{13}) = -56\sqrt{13}$

よって、エオカは-56である。

* **$\frac{m}{3} < b < \frac{m+1}{3}$ を満たす整数 $m$ を求める:**

$b = \frac{7 + 2\sqrt{13}}{3}$

$\sqrt{13}$ は3.6程度なので、$b \approx \frac{7 + 2 \times 3.6}{3} = \frac{7 + 7.2}{3} = \frac{14.2}{3} \approx 4.73$

$\frac{m}{3} < b < \frac{m+1}{3}$ より、$\frac{m}{3} < \frac{7 + 2\sqrt{13}}{3} < \frac{m+1}{3}$

$m < 7 + 2\sqrt{13} < m+1$

$m < 7 + 2\sqrt{13}$ かつ $7 + 2\sqrt{13} < m+1$

$7 + 2\sqrt{13} \approx 7 + 2(3.6) = 7 + 7.2 = 14.2$

$m < 14.2 < m+1$ より、$m = 14$

したがって、キクは14である。

* **⑥を求める:**

$\frac{14}{3} < b < \frac{15}{3} = 5$

$b = \frac{1}{a}$ より、$\frac{14}{3} < \frac{1}{a} < 5$

$\frac{1}{5} < a < \frac{3}{14}$

* **$\sqrt{13}$ の整数部分、小数第1位、第2位を求める:**

$\sqrt{13} \approx 3.605...$

整数部分は3である。

$a = 2\sqrt{13} - 7$ より、$2\sqrt{13} = a+7$

$\frac{1}{5} < a < \frac{3}{14}$ より、$0.2 < a < 0.214...$

$0.2 < 2\sqrt{13} - 7 < 0.214$

$7.2 < 2\sqrt{13} < 7.214$

$3.6 < \sqrt{13} < 3.607$

小数第1位は6である。小数第2位は0である。

3. 最終的な答え

ア: 7

イ: 7

ウ: 3

エオカ: -56

キク: 14

ケ: 3

コ: 6

サ: 0