問題3.1は、複素数 $\alpha = 1 + 3i$ と $\beta = 4 - i$ が与えられたとき、以下の複素数の計算を行う問題です。 (1) $\alpha - 2\beta$ (2) $\beta + \overline{\beta}$ (3) $\alpha\beta$ (4) $\alpha^2$ (5) $\beta\overline{\beta}$ (6) $\frac{\beta}{\alpha}$ 問題3.2は、以下の2次方程式を解く問題です。 (1) $x^2 - 13x + 36 = 0$ (2) $x^2 + 6x + 11 = 0$ (3) $\frac{3}{4}x^2 + x - \frac{1}{3} = 0$

1. 問題の内容

問題3.1は、複素数 $\alpha = 1 + 3i$ と $\beta = 4 - i$ が与えられたとき、以下の複素数の計算を行う問題です。

(1) $\alpha - 2\beta$

(2) $\beta + \overline{\beta}$

(3) $\alpha\beta$

(4) $\alpha^2$

(5) $\beta\overline{\beta}$

(6) $\frac{\beta}{\alpha}$

問題3.2は、以下の2次方程式を解く問題です。

(1) $x^2 - 13x + 36 = 0$

(2) $x^2 + 6x + 11 = 0$

(3) $\frac{3}{4}x^2 + x - \frac{1}{3} = 0$

2. 解き方の手順

問題3.1

(1) $\alpha - 2\beta = (1 + 3i) - 2(4 - i) = 1 + 3i - 8 + 2i = -7 + 5i$

(2) $\beta + \overline{\beta} = (4 - i) + (4 + i) = 8$

(3) $\alpha\beta = (1 + 3i)(4 - i) = 4 - i + 12i - 3i^2 = 4 + 11i + 3 = 7 + 11i$

(4) $\alpha^2 = (1 + 3i)^2 = 1 + 6i + 9i^2 = 1 + 6i - 9 = -8 + 6i$

(5) $\beta\overline{\beta} = (4 - i)(4 + i) = 16 - i^2 = 16 + 1 = 17$

(6) $\frac{\beta}{\alpha} = \frac{4 - i}{1 + 3i} = \frac{(4 - i)(1 - 3i)}{(1 + 3i)(1 - 3i)} = \frac{4 - 12i - i + 3i^2}{1 - 9i^2} = \frac{4 - 13i - 3}{1 + 9} = \frac{1 - 13i}{10} = \frac{1}{10} - \frac{13}{10}i$

問題3.2

(1) $x^2 - 13x + 36 = 0$

$(x - 4)(x - 9) = 0$

$x = 4, 9$

(2) $x^2 + 6x + 11 = 0$

解の公式より

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(1)(11)}}{2(1)} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 44}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{-8}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{2}i}{2} = -3 \pm \sqrt{2}i$

(3) $\frac{3}{4}x^2 + x - \frac{1}{3} = 0$

両辺に12をかけると

$9x^2 + 12x - 4 = 0$

解の公式より

$x = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4(9)(-4)}}{2(9)} = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 144}}{18} = \frac{-12 \pm \sqrt{288}}{18} = \frac{-12 \pm 12\sqrt{2}}{18} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

問題3.1

(1) $-7 + 5i$

(2) $8$

(3) $7 + 11i$

(4) $-8 + 6i$

(5) $17$

(6) $\frac{1}{10} - \frac{13}{10}i$

問題3.2

(1) $x = 4, 9$

(2) $x = -3 \pm \sqrt{2}i$

(3) $x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{3}$