放物線 $y = x^2$ と直線 $y = 15x$ で囲まれる領域（境界線を含む）にある格子点について、以下の問いに答えます。 (1) $x$ 座標が 3 である格子点の個数を求めます。 (2) この領域内にある格子点の個数を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2$ と直線 $y = 15x$ で囲まれる領域（境界線を含む）にある格子点について、以下の問いに答えます。

(1) $x$ 座標が 3 である格子点の個数を求めます。

(2) この領域内にある格子点の個数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $x=3$ のとき、$y=x^2$ に代入すると $y = 3^2 = 9$、$y=15x$ に代入すると $y = 15 \times 3 = 45$ となります。したがって、$x=3$ において、$9 \le y \le 45$ を満たす整数 $y$ の個数を求めればよいので、$45 - 9 + 1 = 37$ 個となります。

(2) まず、$y = x^2$ と $y = 15x$ の交点の $x$ 座標を求めます。$x^2 = 15x$ より、$x^2 - 15x = x(x-15) = 0$ なので、$x = 0, 15$ となります。

領域内の格子点の個数は、各 $x$ 座標について、$x^2 \le y \le 15x$ を満たす整数 $y$ の個数を求め、それを $x = 0$ から $x = 15$ まで足し合わせればよいです。

$x$ が整数であるとき、$x^2 \le y \le 15x$ を満たす整数 $y$ の個数は、$15x - x^2 + 1$ です。

したがって、求める格子点の個数は、

$\sum_{x=0}^{15} (15x - x^2 + 1) = \sum_{x=0}^{15} 15x - \sum_{x=0}^{15} x^2 + \sum_{x=0}^{15} 1$

$= 15 \sum_{x=0}^{15} x - \sum_{x=0}^{15} x^2 + 16$

$= 15 \cdot \frac{15(15+1)}{2} - \frac{15(15+1)(2\cdot 15 + 1)}{6} + 16$

$= 15 \cdot \frac{15 \cdot 16}{2} - \frac{15 \cdot 16 \cdot 31}{6} + 16$

$= 15 \cdot 15 \cdot 8 - 5 \cdot 8 \cdot 31 + 16$

$= 1800 - 1240 + 16 = 576$ 個となります。

3. 最終的な答え

(1) 37 個

(2) 576 個