与えられた3つの2x2行列について、逆行列が存在するかどうかを調べ、存在する場合は逆行列を求めます。

1. 問題の内容

与えられた3つの2x2行列について、逆行列が存在するかどうかを調べ、存在する場合は逆行列を求めます。

2. 解き方の手順

2x2行列 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ の逆行列が存在するための条件は、行列式 $\det(A) = ad - bc \neq 0$ であることです。

逆行列が存在する場合、逆行列 $A^{-1}$ は以下の式で与えられます。

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$

(1) $A = \begin{bmatrix} 2 & -7 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$ の場合：

$\det(A) = (2)(3) - (-7)(-1) = 6 - 7 = -1$

$\det(A) \neq 0$ なので、逆行列は存在します。

$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & -7 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}$

(2) $A = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$ の場合：

$\det(A) = (4)(1) - (-2)(-2) = 4 - 4 = 0$

$\det(A) = 0$ なので、逆行列は存在しません。

(3) $A = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}$ の場合：

$\det(A) = (-1)(5) - (2)(1) = -5 - 2 = -7$

$\det(A) \neq 0$ なので、逆行列は存在します。

$A^{-1} = \frac{1}{-7} \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5/7 & 2/7 \\ 1/7 & 1/7 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 逆行列が存在し、$\begin{bmatrix} -3 & -7 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}$ です。

(2) 逆行列は存在しません。

(3) 逆行列が存在し、$\begin{bmatrix} -5/7 & 2/7 \\ 1/7 & 1/7 \end{bmatrix}$ です。