与えられた行列が逆行列を持つかどうかを判定し、もし持つならば逆行列を求める問題です。具体的には、以下の5つの行列について考えます。 (1) $\begin{bmatrix} 2 & -7 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$ (2) $\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$ (3) $\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}$ (4) $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ (5) $\begin{bmatrix} 4 & 3 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列が逆行列を持つかどうかを判定し、もし持つならば逆行列を求める問題です。具体的には、以下の5つの行列について考えます。

(1) $\begin{bmatrix} 2 & -7 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$

(2) $\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$

(3) $\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}$

(4) $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

(5) $\begin{bmatrix} 4 & 3 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

逆行列を持つための条件は、行列式が0でないことです。まず、それぞれの行列の行列式を計算します。

(1) $\begin{vmatrix} 2 & -7 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = (2)(3) - (-7)(-1) = 6 - 7 = -1$

行列式が-1なので逆行列を持ちます。逆行列は、

$\frac{1}{-1}\begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & -7 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}$

(2) $\begin{vmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = (4)(1) - (-2)(-2) = 4 - 4 = 0$

行列式が0なので逆行列を持ちません。

(3) $\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = (-1)(5) - (2)(1) = -5 - 2 = -7$

行列式が-7なので逆行列を持ちます。逆行列は、

$\frac{1}{-7}\begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5/7 & 2/7 \\ 1/7 & 1/7 \end{bmatrix}$

(4) $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - 2\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(2-0) - 2(1-0) + 1(1-0) = 2 - 2 + 1 = 1$

行列式が1なので逆行列を持ちます。

余因子行列を求めます。

$C_{11} = \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2$, $C_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$, $C_{13} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$

$C_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1$, $C_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$, $C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$

$C_{31} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -2$, $C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1$, $C_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$

余因子行列は$\begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

転置行列は$\begin{bmatrix} 2 & -1 & -2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}$

逆行列は$\begin{bmatrix} 2 & -1 & -2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}$

(5) $\begin{vmatrix} 4 & 3 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 4\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - 3\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 0\begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4(0-2) - 3(-2-1) + 0 = -8 + 9 = 1$

行列式が1なので逆行列を持ちます。

余因子行列を求めます。

$C_{11} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -2$, $C_{12} = -\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 3$, $C_{13} = \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -4$

$C_{21} = -\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -3$, $C_{22} = \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 4$, $C_{23} = -\begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -5$

$C_{31} = \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 3$, $C_{32} = -\begin{vmatrix} 4 & 0 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = -4$, $C_{33} = \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = 6$

余因子行列は$\begin{bmatrix} -2 & 3 & -4 \\ -3 & 4 & -5 \\ 3 & -4 & 6 \end{bmatrix}$

転置行列は$\begin{bmatrix} -2 & -3 & 3 \\ 3 & 4 & -4 \\ -4 & -5 & 6 \end{bmatrix}$

逆行列は$\begin{bmatrix} -2 & -3 & 3 \\ 3 & 4 & -4 \\ -4 & -5 & 6 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 逆行列を持ち、$\begin{bmatrix} -3 & -7 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}$

(2) 逆行列を持たない。

(3) 逆行列を持ち、$\begin{bmatrix} -5/7 & 2/7 \\ 1/7 & 1/7 \end{bmatrix}$

(4) 逆行列を持ち、$\begin{bmatrix} 2 & -1 & -2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}$

(5) 逆行列を持ち、$\begin{bmatrix} -2 & -3 & 3 \\ 3 & 4 & -4 \\ -4 & -5 & 6 \end{bmatrix}$