与えられた4つの行列に対して、逆行列が存在するかどうかを調べ、存在する場合は逆行列を求め、存在しない場合は「なし」と答えます。

1. 問題の内容

与えられた4つの行列に対して、逆行列が存在するかどうかを調べ、存在する場合は逆行列を求め、存在しない場合は「なし」と答えます。

2. 解き方の手順

(1) 2x2行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ の逆行列を求めます。

まず、行列式 $\det(A) = (1)(2) - (3)(-1) = 2 + 3 = 5$ を計算します。

$\det(A) \neq 0$ なので、逆行列が存在します。

逆行列は $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/5 & -3/5 \\ 1/5 & 1/5 \end{pmatrix}$ となります。

(2) 3x3行列 $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ の逆行列を求めます。

まず、行列式 $\det(B) = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot (1\cdot3 - (-1)\cdot0) = 2 \cdot 3 = 6$ を計算します。

$\det(B) \neq 0$ なので、逆行列が存在します。

逆行列は

$B^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & -1/2 & 1/6 \\ 0 & 1 & 1/3 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix}$ となります。

(3) 3x3行列 $C = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ の逆行列を求めます。

行列式を計算すると、$\det(C) = 3(0\cdot1 - 2\cdot0) - 1(0\cdot1 - 2\cdot0) + 1(0\cdot0 - 0\cdot0) = 0$ となります。

$\det(C) = 0$ なので、逆行列は存在しません。

(4) 3x3行列 $D = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ の逆行列を求めます。

行列式を計算すると、$\det(D) = 1(3\cdot2 - 2\cdot0) - 1(0\cdot2 - 2\cdot(-1)) + 0(0\cdot0 - 3\cdot(-1)) = 1(6) - 1(2) + 0 = 6 - 2 = 4$ となります。

$\det(D) \neq 0$ なので、逆行列が存在します。

$D^{-1} = \begin{pmatrix} 3/2 & -1/2 & 1/2 \\ 1 & 1/2 & -1/2 \\ -3/4 & -1/4 & 3/4 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 2/5 & -3/5 \\ 1/5 & 1/5 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1/2 & -1/2 & 1/6 \\ 0 & 1 & 1/3 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix}$

(3) なし

(4) $\begin{pmatrix} 3/2 & -1/2 & 1/2 \\ 1 & 1/2 & -1/2 \\ -3/4 & -1/4 & 3/4 \end{pmatrix}$