放物線 $y = x^2$ と直線 $y = mx + 8$ がある。これらの交点を $x$ 座標の小さい順にそれぞれ $P, Q$ とする。線分 $PQ$ と $y$ 軸の交点を $R$ とする。 (1) $PR:QR = 1:2$ のとき、$m$ の値を求める。 (2) $\triangle OPR = \triangle SPR$ となる点 $S$ を線分 $OQ$ 上にとると、$S$ の $x$ 座標が $3$ になった。このとき、$m$ の値を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2$ と直線 $y = mx + 8$ がある。これらの交点を $x$ 座標の小さい順にそれぞれ $P, Q$ とする。線分 $PQ$ と $y$ 軸の交点を $R$ とする。

(1) $PR:QR = 1:2$ のとき、$m$ の値を求める。

(2) $\triangle OPR = \triangle SPR$ となる点 $S$ を線分 $OQ$ 上にとると、$S$ の $x$ 座標が $3$ になった。このとき、$m$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$P, Q$ の $x$ 座標をそれぞれ $p, q$ とすると、$p, q$ は $x^2 = mx + 8$ の解である。つまり、$x^2 - mx - 8 = 0$ の解が $p, q$。

解と係数の関係より、$p + q = m$、$pq = -8$。

$R$ は線分 $PQ$ を $1:2$ に内分する点なので、$R$ の $x$ 座標は $\frac{2p + q}{3} = 0$ より、$q = -2p$。

$pq = -8$ に $q = -2p$ を代入すると、$-2p^2 = -8$、$p^2 = 4$、$p = \pm 2$。

$p < q$ より、$p = -2, q = 4$。

$m = p + q = -2 + 4 = 2$。

(2)

$S$ の $x$ 座標が $3$ なので、$S$ の座標は $(3, 9)$。

$O, P, R$ は三角形を構成しているので、$O, P, R$ は同一直線上にない。よって、$S$ は線分 $OQ$ 上にあり、$Q$ と一致しないので、$O, P, S$ は三角形を構成している。

$\triangle OPR = \triangle SPR$ より、$PQ$ と $x$ 軸は平行なので、$OP$と$OS$の距離が等しくなる必要がある。

$OS$を底辺とすると、高さはSから直線$OP$におろした垂線の長さである。

$OS$は、$O(0,0)$と$S(3,9)$を結ぶ線分なので、$\triangle OPR = \triangle SPR$ より、$PQ$ と $y$ 軸の距離は等しい。

$y = mx + 8$ に $(3, 9)$ を代入すると、$9 = 3m + 8$、$3m = 1$、$m = \frac{1}{3}$。

このとき、$P, Q$ の $x$ 座標は、$x^2 - \frac{1}{3}x - 8 = 0$ の解。

$3x^2 - x - 24 = 0$ より、$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 288}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{289}}{6} = \frac{1 \pm 17}{6}$。

$P$ の $x$ 座標は $\frac{1 - 17}{6} = -\frac{16}{6} = -\frac{8}{3}$、$Q$ の $x$ 座標は $\frac{1 + 17}{6} = \frac{18}{6} = 3$。

よって、$P(-\frac{8}{3}, \frac{64}{9})$、$Q(3, 9)$。直線 $PQ$ は $y = \frac{1}{3}x + 8$ である。

直線 $PQ$ と $y$ 軸の交点 $R$ は $(0, 8)$。

$m=\frac{1}{3}$のとき、$S$は$Q$と一致する。点$S$は線分$OQ$上にあることから、$\triangle OPR = \triangle SPR$ が成立する。

3. 最終的な答え

(1) $m = 2$

(2) $m = \frac{1}{3}$