$A$と$B$が$2 \times 3$ 行列であるとき、(I), (II), (III)を証明せよ。ただし、(I), (II), (III) の具体的な内容は画像からは不明である。一般的な線形代数の法則を想定して、以下を(I), (II), (III)とする。 (I) $A + B = B + A$ (行列の和の交換法則) (II) $c(A + B) = cA + cB$ ($c$はスカラー、行列のスカラー倍の分配法則) (III) $(A + B) + C = A + (B + C)$ ($C$も$2\times3$行列, 行列の和の結合法則)

1. 問題の内容

$A$と$B$が$2 \times 3$ 行列であるとき、(I), (II), (III)を証明せよ。ただし、(I), (II), (III) の具体的な内容は画像からは不明である。一般的な線形代数の法則を想定して、以下を(I), (II), (III)とする。

(I) $A + B = B + A$ (行列の和の交換法則)

(II) $c(A + B) = cA + cB$ ($c$はスカラー、行列のスカラー倍の分配法則)

(III) $(A + B) + C = A + (B + C)$ ($C$も$2\times3$行列, 行列の和の結合法則)

2. 解き方の手順

(I) $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \end{pmatrix}$ とする。

$A + B = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & a_{13} + b_{13} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & a_{23} + b_{23} \end{pmatrix}$

$B + A = \begin{pmatrix} b_{11} + a_{11} & b_{12} + a_{12} & b_{13} + a_{13} \\ b_{21} + a_{21} & b_{22} + a_{22} & b_{23} + a_{23} \end{pmatrix}$

実数の和の交換法則より、$a_{ij} + b_{ij} = b_{ij} + a_{ij}$ なので、$A + B = B + A$が成り立つ。

(II) $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \end{pmatrix}$ とする。$c$をスカラーとする。

$A + B = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & a_{13} + b_{13} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & a_{23} + b_{23} \end{pmatrix}$

$c(A + B) = \begin{pmatrix} c(a_{11} + b_{11}) & c(a_{12} + b_{12}) & c(a_{13} + b_{13}) \\ c(a_{21} + b_{21}) & c(a_{22} + b_{22}) & c(a_{23} + b_{23}) \end{pmatrix}$

$cA = \begin{pmatrix} ca_{11} & ca_{12} & ca_{13} \\ ca_{21} & ca_{22} & ca_{23} \end{pmatrix}$

$cB = \begin{pmatrix} cb_{11} & cb_{12} & cb_{13} \\ cb_{21} & cb_{22} & cb_{23} \end{pmatrix}$

$cA + cB = \begin{pmatrix} ca_{11} + cb_{11} & ca_{12} + cb_{12} & ca_{13} + cb_{13} \\ ca_{21} + cb_{21} & ca_{22} + cb_{22} & ca_{23} + cb_{23} \end{pmatrix}$

実数の分配法則より、$c(a_{ij} + b_{ij}) = ca_{ij} + cb_{ij}$ なので、$c(A + B) = cA + cB$ が成り立つ。

(III) $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \end{pmatrix}$ とする。

$(A + B) + C = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} + c_{11} & a_{12} + b_{12} + c_{12} & a_{13} + b_{13} + c_{13} \\ a_{21} + b_{21} + c_{21} & a_{22} + b_{22} + c_{22} & a_{23} + b_{23} + c_{23} \end{pmatrix}$

$A + (B + C) = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} + c_{11} & a_{12} + b_{12} + c_{12} & a_{13} + b_{13} + c_{13} \\ a_{21} + b_{21} + c_{21} & a_{22} + b_{22} + c_{22} & a_{23} + b_{23} + c_{23} \end{pmatrix}$

実数の和の結合法則より、$a_{ij} + b_{ij} + c_{ij} = a_{ij} + (b_{ij} + c_{ij})$ なので、$(A + B) + C = A + (B + C)$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(I) $A + B = B + A$

(II) $c(A + B) = cA + cB$

(III) $(A + B) + C = A + (B + C)$