与えられた2次方程式の解の一つが指定された値になるように、パラメータ $a$ の値を求める問題です。具体的には、以下の4つの小問があります。 (1) $x^2 + 2ax + a^2 - 1 = 0$ で $x = -2$ のときの $a$ の値を求める。 (2) $x^2 + 4ax + a^2 - 13 = 0$ で $x = 1$ のときの $a$ の値を求める。 (3) $x^2 + 2(a+3)x + a^2 - 25 = 0$ で $x = 4$ のときの $a$ の値を求める。 (4) $x^2 + 3(a-2)x + a^2 - a - 3 = 0$ で $x = -3$ のときの $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた2次方程式の解の一つが指定された値になるように、パラメータ $a$ の値を求める問題です。具体的には、以下の4つの小問があります。

(1) $x^2 + 2ax + a^2 - 1 = 0$ で $x = -2$ のときの $a$ の値を求める。

(2) $x^2 + 4ax + a^2 - 13 = 0$ で $x = 1$ のときの $a$ の値を求める。

(3) $x^2 + 2(a+3)x + a^2 - 25 = 0$ で $x = 4$ のときの $a$ の値を求める。

(4) $x^2 + 3(a-2)x + a^2 - a - 3 = 0$ で $x = -3$ のときの $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

各小問に対して、与えられた解 $x$ の値を2次方程式に代入し、$a$ についての方程式を解きます。

(1) $x = -2$ を $x^2 + 2ax + a^2 - 1 = 0$ に代入します。

$(-2)^2 + 2a(-2) + a^2 - 1 = 0$

$4 - 4a + a^2 - 1 = 0$

$a^2 - 4a + 3 = 0$

$(a - 1)(a - 3) = 0$

$a = 1$ または $a = 3$

(2) $x = 1$ を $x^2 + 4ax + a^2 - 13 = 0$ に代入します。

$(1)^2 + 4a(1) + a^2 - 13 = 0$

$1 + 4a + a^2 - 13 = 0$

$a^2 + 4a - 12 = 0$

$(a + 6)(a - 2) = 0$

$a = -6$ または $a = 2$

(3) $x = 4$ を $x^2 + 2(a+3)x + a^2 - 25 = 0$ に代入します。

$(4)^2 + 2(a+3)(4) + a^2 - 25 = 0$

$16 + 8(a+3) + a^2 - 25 = 0$

$16 + 8a + 24 + a^2 - 25 = 0$

$a^2 + 8a + 15 = 0$

$(a + 3)(a + 5) = 0$

$a = -3$ または $a = -5$

(4) $x = -3$ を $x^2 + 3(a-2)x + a^2 - a - 3 = 0$ に代入します。

$(-3)^2 + 3(a-2)(-3) + a^2 - a - 3 = 0$

$9 - 9(a-2) + a^2 - a - 3 = 0$

$9 - 9a + 18 + a^2 - a - 3 = 0$

$a^2 - 10a + 24 = 0$

$(a - 4)(a - 6) = 0$

$a = 4$ または $a = 6$

3. 最終的な答え

(1) $a = 1, 3$

(2) $a = -6, 2$

(3) $a = -3, -5$

(4) $a = 4, 6$