与えられた連立不等式が表す領域を図示する問題です。 (1) $\begin{cases} y > x^2 - 2 \\ y < -(x+1)^2 + 3 \end{cases}$ (2) $\begin{cases} x + 2y - 2 < 0 \\ x^2 - 4x + y^2 + 6y + 4 > 0 \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた連立不等式が表す領域を図示する問題です。

(1) $\begin{cases} y > x^2 - 2 \\ y < -(x+1)^2 + 3 \end{cases}$

(2) $\begin{cases} x + 2y - 2 < 0 \\ x^2 - 4x + y^2 + 6y + 4 > 0 \end{cases}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y > x^2 - 2$ を満たす領域を考えます。これは放物線 $y = x^2 - 2$ の上側の領域です。境界線は含みません。

次に、$y < -(x+1)^2 + 3$ を満たす領域を考えます。これは放物線 $y = -(x+1)^2 + 3$ の下側の領域です。境界線は含みません。

これらの両方を満たす領域が、(1)の連立不等式の表す領域です。

(2)

まず、$x + 2y - 2 < 0$ を変形して、$y < -\frac{1}{2}x + 1$ となります。これは直線 $y = -\frac{1}{2}x + 1$ の下側の領域です。境界線は含みません。

次に、$x^2 - 4x + y^2 + 6y + 4 > 0$ を変形します。平方完成を行うと、

$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) > 4 + 9 - 4$

$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 > 9$

これは、中心が $(2, -3)$ で半径が3の円の外側の領域です。境界線は含みません。

これらの両方を満たす領域が、(2)の連立不等式の表す領域です。

図示する際は、それぞれの不等式が表す領域をxy平面上に描き、両方を満たす領域を斜線などで示すと良いでしょう。

境界線を含むかどうか注意し、含まない場合は破線で描きます。

3. 最終的な答え

(1) 放物線 $y = x^2 - 2$ の上側かつ放物線 $y = -(x+1)^2 + 3$ の下側の領域。（境界線を含まない）

(2) 直線 $y = -\frac{1}{2}x + 1$ の下側かつ円 $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9$ の外側の領域。（境界線を含まない）