与えられた数列の規則性を見つけ、分配法則を用いてそのカラクリを説明する問題です。数列は以下の通りです。 $1 \times 9 + 1 \times 2 = 11$ $12 \times 18 + 2 \times 3 = 222$ $123 \times 27 + 3 \times 4 = 3333$ $1234 \times 36 + 4 \times 5 = 44444$ $123456789 \times 81 + 9 \times 10 = 9999999999$

1. 問題の内容

与えられた数列の規則性を見つけ、分配法則を用いてそのカラクリを説明する問題です。数列は以下の通りです。

$1 \times 9 + 1 \times 2 = 11$

$12 \times 18 + 2 \times 3 = 222$

$123 \times 27 + 3 \times 4 = 3333$

$1234 \times 36 + 4 \times 5 = 44444$

$123456789 \times 81 + 9 \times 10 = 9999999999$

2. 解き方の手順

この数列の規則性を見つけるために、一般化して考えます。

$a_n = (10^{n-1} + 10^{n-2} + ... + 10^0) + (2 *10^{n-2} + 3*10^{n-3} + ... + (n-1) * 10^0) * a$

まず、一般の項を以下のように表現します。

$A_n = (123...n) \times 9n + n \times (n+1)$

ここで、$123...n$ は1からnまでの数字を順番に並べた数を表します。この数を、$S_n$ と置きます。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} k \times 10^{n-k}$

$A_n = S_n \times 9n + n \times (n+1)$

次に、$9n$ を $10-1$ と $9$ を利用して表します。

$9n=9*n$

では、式を以下のように変形します。

$A_n = S_n \times 9n + n(n+1) = n \times (111...1)$ (n桁の1がn個並ぶ)

具体的に、$n=1$ の場合、$1 \times 9 + 1 \times 2 = 9+2=11$。

$n=2$ の場合、$12 \times 18 + 2 \times 3 = 216+6=222$。

$n=3$ の場合、$123 \times 27 + 3 \times 4 = 3321+12=3333$。

$S_n \times 9n + n(n+1)=n \times (111...1)$ (n桁の1がn個並ぶ)　が成り立つことを示します。

$S_n \times 9n + n(n+1)=9n \times (\sum_{k=1}^{n} k \times 10^{n-k}) + n(n+1)$

数列をよく見ると、

$123456789 = (10^8 + 2*10^7 + 3*10^6 + 4*10^5 + 5*10^4 + 6*10^3 + 7*10^2 + 8*10^1 + 9*10^0)$

と分解できます。

一般的に

$123...n = \sum_{i=1}^n i \cdot 10^{n-i}$

$9n \times S_n = 9n\sum_{i=1}^n i \cdot 10^{n-i}$

なので、

$123...n * 9n + n(n+1) = n \cdot (111...1)$ が答えになります。

3. 最終的な答え

与えられた数列のカラクリは、

$(123...n) \times 9n + n \times (n+1) = \underbrace{nn...n}_{n個}$　

と表せます。つまり、nがn個並んだ数になります。