与えられた3つの直角三角形において、指定された辺の長さ $x$ と $y$ を求めます。それぞれの三角形で角度と既知の辺の長さが与えられています。

1. 問題の内容

与えられた3つの直角三角形において、指定された辺の長さ $x$ と $y$ を求めます。それぞれの三角形で角度と既知の辺の長さが与えられています。

2. 解き方の手順

(1)

* 30度の角の対辺はx、底辺は6、斜辺はyです。

* $\tan(30^\circ) = \frac{x}{6}$ より、$x = 6 \tan(30^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$

* $\cos(30^\circ) = \frac{6}{y}$ より、$y = \frac{6}{\cos(30^\circ)} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$

(2)

* 45度の角の対辺はx、底辺はy、斜辺は4です。

* 直角二等辺三角形なので、$x=y$。

* ピタゴラスの定理より、$x^2 + y^2 = 4^2$。

* $x=y$ より、$2x^2 = 16$。

* $x^2 = 8$。

* $x = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。したがって、$y = 2\sqrt{2}$。

(3)

* 60度の角の対辺は6、底辺はx、斜辺はyです。

* $\sin(60^\circ) = \frac{6}{y}$ より、$y = \frac{6}{\sin(60^\circ)} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$

* $\tan(60^\circ) = \frac{6}{x}$ より、$x = \frac{6}{\tan(60^\circ)} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 2\sqrt{3}$, $y = 4\sqrt{3}$

(2) $x = 2\sqrt{2}$, $y = 2\sqrt{2}$

(3) $x = 2\sqrt{3}$, $y = 4\sqrt{3}$