画像に示された10個の行列式を計算する問題です。

はい、承知いたしました。画像にある行列式の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

画像に示された10個の行列式を計算する問題です。

2. 解き方の手順

各行列式について、以下の手順で計算を行います。

(1) 2x2行列式の場合:

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

(2) 3x3行列式の場合:

サラスの公式、または余因子展開を用いて計算します。サラスの公式は以下の通りです。

$\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$

それでは、各行列式を計算していきます。

(1)

$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = (2)(4) - (1)(1) = 8 - 1 = 7$

(2)

$\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 5 \end{vmatrix} = (0)(5) - (2)(-1) = 0 + 2 = 2$

(3)

$\begin{vmatrix} 5 & 10 & 5 \\ -2 & 3 & 2 \\ 3 & 6 & 15 \end{vmatrix} = (5)(3)(15) + (10)(2)(3) + (5)(-2)(6) - (5)(3)(3) - (10)(-2)(15) - (5)(2)(6) = 225 + 60 - 60 - 45 + 300 - 60 = 420$

(4)

$\begin{vmatrix} 3 & -2 & -2 \\ 9 & -2 & 0 \\ 6 & 2 & 2 \end{vmatrix} = (3)(-2)(2) + (-2)(0)(6) + (-2)(9)(2) - (-2)(-2)(6) - (-2)(9)(2) - (3)(0)(2) = -12 + 0 - 36 - 24 + 36 - 0 = -36$

(5)

$\begin{vmatrix} \frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{2} & 1 \end{vmatrix} = (\frac{1}{6})(\frac{1}{2})(1) + (\frac{1}{3})(0)(\frac{1}{3}) + (\frac{1}{6})(\frac{2}{3})(\frac{1}{2}) - (\frac{1}{6})(\frac{1}{2})(\frac{1}{3}) - (\frac{1}{3})(\frac{2}{3})(1) - (\frac{1}{6})(0)(\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} + 0 + \frac{1}{18} - \frac{1}{36} - \frac{2}{9} - 0 = \frac{3+2-1-8}{36} = \frac{-4}{36} = -\frac{1}{9}$

(6)

$\begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} = (3)(-1)(1) + (1)(2)(0) + (2)(0)(3) - (2)(-1)(0) - (1)(0)(1) - (3)(2)(3) = -3 + 0 + 0 - 0 - 0 - 18 = -21$

(7)

$\begin{vmatrix} -5 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 \end{vmatrix} = (-5)(0)(0) + (1)(0)(2) + (2)(1)(-3) - (2)(0)(2) - (1)(1)(0) - (-5)(0)(-3) = 0 + 0 - 6 - 0 - 0 - 0 = -6$

(8)

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (1)(1)(-1) + (2)(2)(2) + (1)(-1)(1) - (1)(1)(2) - (2)(-1)(-1) - (1)(2)(1) = -1 + 8 - 1 - 2 - 2 - 2 = 0$

(9)

$\begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (3)(-1)(1) + (-1)(3)(4) + (1)(1)(2) - (1)(-1)(4) - (-1)(1)(1) - (3)(3)(2) = -3 - 12 + 2 + 4 + 1 - 18 = -26$

(10)

$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \\ -3 & 2 & 5 \end{vmatrix} = (2)(3)(5) + (-1)(1)(-3) + (3)(1)(2) - (3)(3)(-3) - (-1)(1)(5) - (2)(1)(2) = 30 + 3 + 6 + 27 + 5 - 4 = 67$

3. 最終的な答え

(1) 7

(2) 2

(3) 420

(4) -36

(5) -1/9

(6) -21

(7) -6

(8) 0

(9) -26

(10) 67