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与えられた複数の行列の行列式を計算する問題です。全部で14個の行列式を計算する必要があります。

代数学行列式線形代数
2025/7/24

1. 問題の内容

与えられた複数の行列の行列式を計算する問題です。全部で14個の行列式を計算する必要があります。

2. 解き方の手順

行列式の計算は、行列のサイズによって方法が異なります。
* 2x2行列: ∣abcd∣=ad−bc \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc
* 3x3行列: サラスの公式または余因子展開
* 4x4行列: 余因子展開などを利用して次数を下げて計算
各問題に対して、適切な方法で計算を行います。一部の問題については、行列式の性質（例えば、ある行または列が定数倍されている場合や、ある行または列が他の行または列の線形結合で表される場合など）を利用することで計算を簡略化できます。
(1) ∣2114∣=(2)(4)−(1)(1)=8−1=7 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = (2)(4) - (1)(1) = 8 - 1 = 7
(2) ∣02−15∣=(0)(5)−(2)(−1)=0+2=2 \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 5 \end{vmatrix} = (0)(5) - (2)(-1) = 0 + 2 = 2
(3) ∣5105−2323615∣=5∣32615∣−10∣−22315∣+5∣−2336∣=5(45−12)−10(−30−6)+5(−12−9)=5(33)−10(−36)+5(−21)=165+360−105=420 \begin{vmatrix} 5 & 10 & 5 \\ -2 & 3 & 2 \\ 3 & 6 & 15 \end{vmatrix} = 5 \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 6 & 15 \end{vmatrix} - 10 \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 3 & 15 \end{vmatrix} + 5 \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 3 & 6 \end{vmatrix} = 5(45-12) - 10(-30-6) + 5(-12-9) = 5(33) - 10(-36) + 5(-21) = 165 + 360 - 105 = 420
(4) ∣3−2−29−20622∣=3∣−2022∣−(−2)∣9062∣+(−2)∣9−262∣=3(−4−0)+2(18−0)−2(18+12)=−12+36−60=−36 \begin{vmatrix} 3 & -2 & -2 \\ 9 & -2 & 0 \\ 6 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} - (-2) \begin{vmatrix} 9 & 0 \\ 6 & 2 \end{vmatrix} + (-2) \begin{vmatrix} 9 & -2 \\ 6 & 2 \end{vmatrix} = 3(-4-0) + 2(18-0) - 2(18+12) = -12 + 36 - 60 = -36
(5) ∣161316231201112∣=16∣120112∣−13∣230112∣+16∣231211∣=16(14−0)−13(13−0)+16(23−12)=124−19+16(4−36)=124−19+136=3−8+272=−372=−124 \begin{vmatrix} \frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & 1 & \frac{1}{2} \end{vmatrix} = \frac{1}{6} \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & \frac{1}{2} \end{vmatrix} - \frac{1}{3} \begin{vmatrix} \frac{2}{3} & 0 \\ 1 & \frac{1}{2} \end{vmatrix} + \frac{1}{6} \begin{vmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{2} \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = \frac{1}{6} (\frac{1}{4} - 0) - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} - 0) + \frac{1}{6} (\frac{2}{3} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{24} - \frac{1}{9} + \frac{1}{6} (\frac{4-3}{6}) = \frac{1}{24} - \frac{1}{9} + \frac{1}{36} = \frac{3-8+2}{72} = \frac{-3}{72} = -\frac{1}{24}
(6) ∣3120−12031∣=3∣−1231∣−1∣0201∣+2∣0−103∣=3(−1−6)−1(0)+2(0)=3(−7)=−21 \begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 3(-1 - 6) - 1(0) + 2(0) = 3(-7) = -21
(7) ∣100−5122−30∣=1∣12−30∣−0∣−5220∣+0∣−512−3∣=1(0−(−6))=6 \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 2 \\ 2 & -3 & 0 \end{vmatrix} = 1 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 0 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} -5 & 2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} -5 & 1 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} = 1(0 - (-6)) = 6
(8) ∣121−11221−1∣=1(1(−1)−2(1))−2((−1)(−1)−2(2))+1((−1)(1)−1(2))=1(−1−2)−2(1−4)+1(−1−2)=−3−2(−3)−3=−3+6−3=0 \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 1(1(-1) - 2(1)) - 2((-1)(-1) - 2(2)) + 1((-1)(1) - 1(2)) = 1(-1 - 2) - 2(1 - 4) + 1(-1 - 2) = -3 - 2(-3) - 3 = -3 + 6 - 3 = 0
(9) ∣3−111−13421∣=3((−1)(1)−(3)(2))−(−1)((1)(1)−(3)(4))+1((1)(2)−(−1)(4))=3(−1−6)+(1−12)+(2+4)=3(−7)−11+6=−21−11+6=−26 \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 3((-1)(1) - (3)(2)) - (-1)((1)(1) - (3)(4)) + 1((1)(2) - (-1)(4)) = 3(-1 - 6) + (1 - 12) + (2 + 4) = 3(-7) - 11 + 6 = -21 - 11 + 6 = -26
(10) ∣2−13131−325∣=2(3(5)−1(2))−(−1)(1(5)−1(−3))+3(1(2)−3(−3))=2(15−2)+(5+3)+3(2+9)=2(13)+8+3(11)=26+8+33=67 \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \\ -3 & 2 & 5 \end{vmatrix} = 2(3(5) - 1(2)) - (-1)(1(5) - 1(-3)) + 3(1(2) - 3(-3)) = 2(15 - 2) + (5 + 3) + 3(2 + 9) = 2(13) + 8 + 3(11) = 26 + 8 + 33 = 67
(11) この行列式は4x4なので、余因子展開をします。
∣1−11221−11−10113−22−1∣ \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 1 \\ 3 & -2 & 2 & -1 \end{vmatrix}
1行目で展開します。
1∣1−11011−22−1∣−(−1)∣2−11−11132−1∣+1∣211−1013−2−1∣−2∣21−1−1013−22∣ 1\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -2 & 2 & -1 \end{vmatrix} - (-1)\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 3 & -2 & -1 \end{vmatrix} - 2\begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 3 & -2 & 2 \end{vmatrix}
それぞれの3x3行列を計算します。
∣1−11011−22−1∣=1(1(−1)−1(2))−(−1)(0(−1)−1(−2))+1(0(2)−1(−2))=1(−1−2)+(0+2)+(0+2)=−3+2+2=1 \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -2 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 1(1(-1) - 1(2)) - (-1)(0(-1) - 1(-2)) + 1(0(2) - 1(-2)) = 1(-1-2) + (0+2) + (0+2) = -3 + 2 + 2 = 1
∣2−11−11132−1∣=2(1(−1)−1(2))−(−1)(−1(−1)−1(3))+1(−1(2)−1(3))=2(−1−2)+(1−3)+(−2−3)=2(−3)−2−5=−6−2−5=−13 \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 2(1(-1) - 1(2)) - (-1)(-1(-1) - 1(3)) + 1(-1(2) - 1(3)) = 2(-1-2) + (1-3) + (-2-3) = 2(-3) - 2 - 5 = -6 - 2 - 5 = -13
∣211−1013−2−1∣=2(0(−1)−1(−2))−1((−1)(−1)−1(3))+1((−1)(−2)−0(3))=2(0+2)−(1−3)+(2−0)=4+2+2=8 \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 3 & -2 & -1 \end{vmatrix} = 2(0(-1) - 1(-2)) - 1((-1)(-1) - 1(3)) + 1((-1)(-2) - 0(3)) = 2(0+2) - (1-3) + (2-0) = 4 + 2 + 2 = 8
∣21−1−1013−22∣=2(0(2)−1(−2))−1((−1)(2)−1(3))+(−1)((−1)(−2)−0(3))=2(0+2)−(−2−3)−(2−0)=4+5−2=7 \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 3 & -2 & 2 \end{vmatrix} = 2(0(2) - 1(-2)) - 1((-1)(2) - 1(3)) + (-1)((-1)(-2) - 0(3)) = 2(0+2) - (-2-3) - (2-0) = 4 + 5 - 2 = 7
元の式に戻して計算します。
1(1)−(−1)(−13)+1(8)−2(7)=1−13+8−14=−18 1(1) - (-1)(-13) + 1(8) - 2(7) = 1 - 13 + 8 - 14 = -18
(12)
∣1−12121−4−10010005−3∣ \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -4 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & -3 \end{vmatrix}
3行目で展開
1×∣1−1121−100−3∣=1(1(−3)−(−1)0)−(−1)(2(−3)−(−1)(0))+1(2(0)−1(0))=−3+(−6)+0=−9 1 \times \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -3 \end{vmatrix} = 1(1(-3) - (-1)0) - (-1)(2(-3) - (-1)(0)) + 1(2(0) - 1(0)) = -3 + (-6) + 0 = -9
(13)
∣5−15101502−542−750−1042−2∣ \begin{vmatrix} 5 & -15 & 10 & 15 \\ 0 & 2 & -5 & 4 \\ 2 & -7 & 5 & 0 \\ -10 & 4 & 2 & -2 \end{vmatrix}
1行目を5で割ります。
5∣1−32302−542−750−1042−2∣ 5 \begin{vmatrix} 1 & -3 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & -5 & 4 \\ 2 & -7 & 5 & 0 \\ -10 & 4 & 2 & -2 \end{vmatrix}
=5∣1−32302−540−11−60−262228∣ = 5 \begin{vmatrix} 1 & -3 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & -5 & 4 \\ 0 & -1 & 1 & -6 \\ 0 & -26 & 22 & 28 \end{vmatrix} (2行目から1行目の2倍を引き、4行目へ1行目の10倍を加える）
=5∣2−54−11−6−262228∣ = 5 \begin{vmatrix} 2 & -5 & 4 \\ -1 & 1 & -6 \\ -26 & 22 & 28 \end{vmatrix}
=5[2(1(28)−(−6)(22))−(−5)((−1)(28)−(−6)(−26))+4((−1)(22)−1(−26))] = 5 [2(1(28) - (-6)(22)) - (-5)((-1)(28) - (-6)(-26)) + 4((-1)(22) - 1(-26))]
=5[2(28+132)+5(−28−156)+4(−22+26)] = 5 [2(28+132) + 5(-28-156) + 4(-22+26)]
=5[2(160)+5(−184)+4(4)] = 5 [2(160) + 5(-184) + 4(4)]
=5[320−920+16] = 5 [320 - 920 + 16]
=5[−584] = 5 [-584]
=−2920 = -2920
(14)
∣1111123414916182764∣ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 9 & 16 \\ 1 & 8 & 27 & 64 \end{vmatrix}
これはヴァンデルモンドの行列式なので公式を使うことができる。
∏1≤i<j≤n(xj−xi) \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)
この問題では、x1=1,x2=2,x3=4,x4=8 x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 4, x_4 = 8
(2−1)(4−1)(8−1)(4−2)(8−2)(8−4)=1⋅3⋅7⋅2⋅6⋅4=1008 (2-1)(4-1)(8-1)(4-2)(8-2)(8-4) = 1 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 4 = 1008

3. 最終的な答え

(1) 7
(2) 2
(3) 420
(4) -36
(5) -1/24
(6) -21
(7) 6
(8) 0
(9) -26
(10) 67
(11) -18
(12) -9
(13) -2920
(14) 1008

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