正方行列 $A$, $B$と任意の数 $k$, $l$に対して、以下のことを証明する。 (1) $A$, $B$ が対称行列ならば、$kA+lB$ も対称行列である。 (2) $A$, $B$ が交代行列ならば、$kA+lB$ も交代行列である。

1. 問題の内容

正方行列 $A$, $B$と任意の数 $k$, $l$に対して、以下のことを証明する。

(1) $A$, $B$ が対称行列ならば、$kA+lB$ も対称行列である。

(2) $A$, $B$ が交代行列ならば、$kA+lB$ も交代行列である。

2. 解き方の手順

(1) $A$と$B$が対称行列であるとき、$A^T = A$かつ$B^T = B$が成り立つ。

ここで$(kA+lB)^T$を計算すると、

$$(kA+lB)^T = (kA)^T + (lB)^T = kA^T + lB^T$$

$A^T = A$かつ$B^T = B$より、

$$kA^T + lB^T = kA + lB$$

したがって、

$$(kA+lB)^T = kA + lB$$

よって、$kA+lB$は対称行列である。

(2) $A$と$B$が交代行列であるとき、$A^T = -A$かつ$B^T = -B$が成り立つ。

ここで$(kA+lB)^T$を計算すると、

$$(kA+lB)^T = (kA)^T + (lB)^T = kA^T + lB^T$$

$A^T = -A$かつ$B^T = -B$より、

$$kA^T + lB^T = k(-A) + l(-B) = -kA - lB = -(kA+lB)$$

したがって、

$$(kA+lB)^T = -(kA+lB)$$

よって、$kA+lB$は交代行列である。

3. 最終的な答え

(1) $A, B$ が対称行列ならば、$kA+lB$も対称行列である。

(2) $A, B$ が交代行列ならば、$kA+lB$も交代行列である。