問題8.1: 次の式を $a^p b^q$ の形で表す。 $$\frac{\sqrt[4]{\sqrt{a^2 b}}}{\sqrt[3]{\sqrt{ab}}} \times \sqrt[3]{\sqrt{a^3 b^2}}$$ 問題8.3: 次の対数の計算をする。 $$\log_3 \frac{9}{2} + \log_9 12$$

1. 問題の内容

問題8.1: 次の式を $a^p b^q$ の形で表す。

$$\frac{\sqrt[4]{\sqrt{a^2 b}}}{\sqrt[3]{\sqrt{ab}}} \times \sqrt[3]{\sqrt{a^3 b^2}}$$

問題8.3: 次の対数の計算をする。

$$\log_3 \frac{9}{2} + \log_9 12$$

2. 解き方の手順

問題8.1

まず、与えられた式を指数を用いて表します。

$$\frac{\sqrt[4]{\sqrt{a^2 b}}}{\sqrt[3]{\sqrt{ab}}} \times \sqrt[3]{\sqrt{a^3 b^2}} = \frac{(a^2 b)^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}}}{(ab)^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}} \times (a^3 b^2)^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}$$

$$= \frac{(a^2 b)^{\frac{1}{8}}}{(ab)^{\frac{1}{6}}} \times (a^3 b^2)^{\frac{1}{6}}$$

$$= \frac{a^{\frac{2}{8}} b^{\frac{1}{8}}}{a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{1}{6}}} \times a^{\frac{3}{6}} b^{\frac{2}{6}}$$

$$= a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{1}{8}} \cdot a^{-\frac{1}{6}} b^{-\frac{1}{6}} \cdot a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{3}}$$

$a$ の指数を計算します。

$$\frac{1}{4} - \frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{3 - 2 + 6}{12} = \frac{7}{12}$$

$b$ の指数を計算します。

$$\frac{1}{8} - \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{3 - 4 + 8}{24} = \frac{7}{24}$$

したがって、与えられた式は $a^{\frac{7}{12}} b^{\frac{7}{24}}$ となります。

問題8.3

対数の底を3に統一します。

$$\log_9 12 = \frac{\log_3 12}{\log_3 9} = \frac{\log_3 12}{2}$$

$$\log_3 \frac{9}{2} + \log_9 12 = \log_3 \frac{9}{2} + \frac{1}{2} \log_3 12 = \log_3 \frac{9}{2} + \log_3 \sqrt{12}$$

$$= \log_3 \frac{9}{2} + \log_3 (2\sqrt{3})$$

$$= \log_3 (\frac{9}{2} \times 2\sqrt{3}) = \log_3 (9\sqrt{3}) = \log_3 (3^2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$$

$$= \log_3 (3^{\frac{5}{2}}) = \frac{5}{2}$$

3. 最終的な答え

問題8.1: $a^{\frac{7}{12}} b^{\frac{7}{24}}$

問題8.3: $\frac{5}{2}$