この問題は、対数の性質を用いて、$log_{10}10$、$log_{10}5$、$log_{10}15$をそれぞれ$log_{10}2$と$log_{10}3$で表し、$15^{20}$が何桁の数か、またその最高位の数字を求める問題です。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$、$log_{10}3 = 0.4771$とします。

1. 問題の内容

この問題は、対数の性質を用いて、$log_{10}10$、$log_{10}5$、$log_{10}15$をそれぞれ$log_{10}2$と$log_{10}3$で表し、$15^{20}$が何桁の数か、またその最高位の数字を求める問題です。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$、$log_{10}3 = 0.4771$とします。

2. 解き方の手順

(1)

* $log_{10}10 = 1$

* $log_{10}5 = log_{10}(\frac{10}{2}) = log_{10}10 - log_{10}2 = 1 - log_{10}2$

* $log_{10}15 = log_{10}(3 \times 5) = log_{10}3 + log_{10}5 = log_{10}3 + 1 - log_{10}2 = -log_{10}2 + log_{10}3 + 1$

(2)

* $log_{10}15^{20} = 20log_{10}15 = 20(log_{10}3 + log_{10}5) = 20(log_{10}3 + 1 - log_{10}2)$

$log_{10}15^{20} = 20(0.4771 + 1 - 0.3010) = 20(1.1761) = 23.522$

* $23 < log_{10}15^{20} < 24$ より、カキは23です。

* $log_{10}15^{20} = 23.522$ なので、$15^{20}$は24桁の数です。したがって、クケは24です。

* $log_{10}15^{20}$の小数部分は$log_{10}15^{20} - 23 = 23.522 - 23 = 0.522$です。

* $log_{10}3 = 0.4771 < 0.522 < 0.6020 = log_{10}4$

したがって、$log_{10}3 < log_{10}15^{20} - 23 < log_{10}4$

* したがって、コは3です。

* $15^{20}$の最高位の数字は3です。したがって、サは3です。

3. 最終的な答え

(1)

ア: 1

イ: -1

ウ: 1

エ: -1

オ: 1

(2)

カキ: 23

クケ: 24

コ: 3

サ: 3