長方形ABCDがあり、AB=8cm, AD=12cmである。各辺上に点E, F, G, HをAE=BF=CG=DHとなるようにとる。四角形EFGHの面積が48cm²であるとき、AEの長さを求めよ。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、AB=8cm, AD=12cmである。各辺上に点E, F, G, HをAE=BF=CG=DHとなるようにとる。四角形EFGHの面積が48cm²であるとき、AEの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

AE=BF=CG=DH=xとする。

長方形ABCDの面積は、

$8 \times 12 = 96 cm^2$

四角形EFGHの面積は48cm²なので、4つの三角形の面積の合計は、

$96 - 48 = 48 cm^2$

4つの三角形は合同なので、一つの三角形の面積は

$48 \div 4 = 12 cm^2$

三角形AEHにおいて、

AE=x, AH=12-xなので、面積は

$\frac{1}{2}x(12-x) = 12$

$x(12-x) = 24$

$12x - x^2 = 24$

$x^2 - 12x + 24 = 0$

解の公式より、

$x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \times 1 \times 24}}{2 \times 1}$

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{2}$

$x = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2}$

$x = \frac{12 \pm 4\sqrt{3}}{2}$

$x = 6 \pm 2\sqrt{3}$

$0 < x < 8$ より、

$x = 6 - 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$6 - 2\sqrt{3}$ cm