## 1. 問題の内容

##

1. 問題の内容

画像に掲載されている7つの数学の問題を解きます。

* **問題1**: ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ をベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ へ正射影して得られるベクトルを求めよ。

* **問題2**: 点 A(1,0,1), B(0,1,0), C(0,-1,1), D(1,1,1) とする。直線 AB と直線 CD が交点をもつなら求めよ。

* **問題3**: 点 A(1,2,-1) から直線 $l: x-1 = \frac{y-2}{2} = \frac{z}{3}$ へ下ろした垂線の足 H の座標を求めよ。

* **問題4**: 直線 $\frac{x}{2} = \frac{y-1}{3} = \frac{z}{2}$ と平面 $x - 2y - 3z + 1 = 0$ との交点 P を求めよ。

* **問題5**: 3点 A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3) を通る平面を $\alpha$ とする。P(1,1,1) から $\alpha$ へ下ろした垂線の足 H を求めよ。

* **問題6**: 直線 $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} (t \in \mathbb{R})$ を行列 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ で移した図形の方程式を求めよ。

* **問題7**: $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めよ。

##

2. 解き方の手順

**問題1**

ベクトル $\vec{a}$ をベクトル $\vec{b}$ に正射影したベクトル $\vec{p}$ は、

$\vec{p} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\| \vec{b} \|^2} \vec{b}$

で与えられます。$\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$、$\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ とすると、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 1 + 2 \times (-1) + 1 \times 2 = 1 - 2 + 2 = 1$

$\| \vec{b} \|^2 = 1^2 + (-1)^2 + 2^2 = 1 + 1 + 4 = 6$

よって、

$\vec{p} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/6 \\ -1/6 \\ 1/3 \end{pmatrix}$

**問題2**

直線 AB の方程式は、$\vec{AB} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ より、

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

直線 CD の方程式は、$\vec{CD} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ より、

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$

交点を持つためには、以下の連立方程式が解を持つ必要があります。

$1-s = t$

$s = -1 + 2t$

$1-s = 1$

3番目の式から、$s=0$ となり、2番目の式から、 $0 = -1 + 2t$ なので $t = 1/2$ 。

1番目の式に代入すると、$1-0 = 1/2$となり、これは矛盾します。

したがって、直線ABと直線CDは交点を持ちません。

**問題3**

直線 $l$ 上の点を $H(t+1, 2t+2, 3t)$ とおく。

$\vec{AH} = \begin{pmatrix} t \\ 2t \\ 3t + 1 \end{pmatrix}$

$\vec{AH}$ が $l$ の方向ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ と垂直なので、内積は0。

$t + 4t + 9t + 3 = 0$

$14t = -3$

$t = -\frac{3}{14}$

$H(\frac{11}{14}, \frac{22}{14}, -\frac{9}{14})$

**問題4**

直線の方程式を $k$ を用いて表すと、

$x = 2k$

$y = 3k + 1$

$z = 2k$

平面の方程式に代入すると、

$2k - 2(3k+1) - 3(2k) + 1 = 0$

$2k - 6k - 2 - 6k + 1 = 0$

$-10k - 1 = 0$

$k = -\frac{1}{10}$

交点 $P(-\frac{1}{5}, \frac{7}{10}, -\frac{1}{5})$

**問題5**

平面 $\alpha$ の方程式を $ax + by + cz = d$ とおく。

3点を通るので、

$a = d$

$2b = d$

$3c = d$

$a = d$, $b = \frac{d}{2}$, $c = \frac{d}{3}$

平面の方程式は $dx + \frac{d}{2}y + \frac{d}{3}z = d$

$6x + 3y + 2z = 6$

点 P(1,1,1) から平面への垂線の足 H は、

直線 $\frac{x-1}{6} = \frac{y-1}{3} = \frac{z-1}{2} = t$ 上にある。

$x = 6t+1$, $y = 3t+1$, $z = 2t+1$

$6(6t+1) + 3(3t+1) + 2(2t+1) = 6$

$36t + 6 + 9t + 3 + 4t + 2 = 6$

$49t + 5 = 0$

$t = -\frac{5}{49}$

$x = 6(-\frac{5}{49}) + 1 = \frac{19}{49}$

$y = 3(-\frac{5}{49}) + 1 = \frac{34}{49}$

$z = 2(-\frac{5}{49}) + 1 = \frac{39}{49}$

$H(\frac{19}{49}, \frac{34}{49}, \frac{39}{49})$

**問題6**

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 1+2t \\ -1+t \\ -1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1+2t \\ -1+t \\ -1 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 1+2t -2+2t -3 \\ -2+2t -1 \\ 1+2t -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4+4t \\ -3+2t \\ -1+2t \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

**問題7**

$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ のとき、$\det(A) = 1 \times 2 - 3 \times (-1) = 2 + 3 = 5$

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/5 & -3/5 \\ 1/5 & 1/5 \end{pmatrix}$

##

3. 最終的な答え

* **問題1**: $\begin{pmatrix} 1/6 \\ -1/6 \\ 1/3 \end{pmatrix}$

* **問題2**: 交点を持たない

* **問題3**: $(\frac{11}{14}, \frac{22}{14}, -\frac{9}{14})$

* **問題4**: $(-\frac{1}{5}, \frac{7}{10}, -\frac{1}{5})$

* **問題5**: $(\frac{19}{49}, \frac{34}{49}, \frac{39}{49})$

* **問題6**: $\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

* **問題7**: $\begin{pmatrix} 2/5 & -3/5 \\ 1/5 & 1/5 \end{pmatrix}$