ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ と $\vec{b} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下のものを求める問題です。 (1) $|\vec{a}|$ (2) $|\vec{b}|$ (3) $\vec{a} \cdot \vec{b}$ (4) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角の余弦

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ と $\vec{b} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下のものを求める問題です。

(1) $|\vec{a}|$

(2) $|\vec{b}|$

(3) $\vec{a} \cdot \vec{b}$

(4) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角の余弦

2. 解き方の手順

(1) $|\vec{a}|$ は、ベクトル $\vec{a}$ の大きさ(ノルム)です。

$$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$$

(2) $|\vec{b}|$ は、ベクトル $\vec{b}$ の大きさ(ノルム)です。

$$|\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$$

(3) $\vec{a} \cdot \vec{b}$ は、ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積です。

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(-3) + (1)(1) = -6 + 1 = -5$$

(4) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とすると、その余弦(cos)は、

$$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{-5}{\sqrt{5}\sqrt{10}} = \frac{-5}{\sqrt{50}} = \frac{-5}{5\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

3. 最終的な答え

(1) $|\vec{a}| = \sqrt{5}$

(2) $|\vec{b}| = \sqrt{10}$

(3) $\vec{a} \cdot \vec{b} = -5$

(4) $\cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$