$a, b, c, d$ は正の数とするとき、次の不等式が成り立つことを証明し、等号が成り立つのはどのようなときかを答える問題です。 $$ (\frac{b}{a} + \frac{d}{c})(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) \ge 4 $$

1. 問題の内容

$a, b, c, d$ は正の数とするとき、次の不等式が成り立つことを証明し、等号が成り立つのはどのようなときかを答える問題です。

$$(\frac{b}{a} + \frac{d}{c})(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) \ge 4$$

2. 解き方の手順

左辺を展開します。

$$(\frac{b}{a} + \frac{d}{c})(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) = \frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \cdot \frac{c}{d} + \frac{d}{c} \cdot \frac{a}{b} + \frac{d}{c} \cdot \frac{c}{d}$$

$$= 1 + \frac{bc}{ad} + \frac{ad}{bc} + 1 = 2 + \frac{bc}{ad} + \frac{ad}{bc}$$

ここで、相加相乗平均の関係を使うと、正の数 $x$ に対して $x + \frac{1}{x} \ge 2$ が成り立ちます。等号成立は $x = 1$ の時です。

$x = \frac{bc}{ad}$ とすると、

$$\frac{bc}{ad} + \frac{ad}{bc} \ge 2$$

したがって、

$$2 + \frac{bc}{ad} + \frac{ad}{bc} \ge 2 + 2 = 4$$

よって、

$$(\frac{b}{a} + \frac{d}{c})(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) \ge 4$$

等号が成り立つのは $\frac{bc}{ad} = 1$ のとき、つまり $bc = ad$ のときです。

3. 最終的な答え

不等式 $(\frac{b}{a} + \frac{d}{c})(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) \ge 4$ は成り立つ。

等号が成り立つのは $bc = ad$ のとき。