与えられた条件を満たす三角形ABCがどのような三角形であるかを答える問題です。 (1) $c \cos B - b \cos C = 0$ (2) $a^2 \sin B \cos A - b^2 \sin A \cos B = 0$

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす三角形ABCがどのような三角形であるかを答える問題です。

(1) $c \cos B - b \cos C = 0$

(2) $a^2 \sin B \cos A - b^2 \sin A \cos B = 0$

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理、余弦定理を用いて条件式を変形します。正弦定理より、$a = 2R\sin A$, $b = 2R\sin B$, $c = 2R\sin C$ ($R$は外接円の半径)。余弦定理より、$\cos B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}$, $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$。

与えられた式に代入すると、

$2R\sin C \cdot \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca} - 2R\sin B \cdot \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = 0$

$\frac{\sin C (c^2 + a^2 - b^2)}{a} - \frac{\sin B (a^2 + b^2 - c^2)}{a} = 0$

$\sin C (c^2 + a^2 - b^2) - \sin B (a^2 + b^2 - c^2) = 0$

正弦定理より、$a:b:c = \sin A: \sin B: \sin C$だから、$\sin C = \frac{c}{a} \sin A$, $\sin B = \frac{b}{a} \sin A$。

$\frac{c}{a} \sin A (c^2 + a^2 - b^2) - \frac{b}{a} \sin A (a^2 + b^2 - c^2) = 0$

$c (c^2 + a^2 - b^2) - b (a^2 + b^2 - c^2) = 0$

$c^3 + ca^2 - cb^2 - ba^2 - b^3 + bc^2 = 0$

$c^3 - b^3 + ca^2 - ba^2 - cb^2 + bc^2 = 0$

$(c-b)(c^2+cb+b^2) + a^2(c-b) - cb(b-c) = 0$

$(c-b)(c^2+cb+b^2 + a^2+cb) = 0$

$(c-b)(c^2+2cb+b^2+a^2) = 0$

$(c-b)((c+b)^2+a^2)=0$

$(c+b)^2 + a^2 > 0$だから、$c-b=0$。よって、$c=b$。

したがって、二等辺三角形である。

(2) 正弦定理、余弦定理を用いて条件式を変形します。正弦定理より、$a = 2R\sin A$, $b = 2R\sin B$, $\sin A = \frac{a}{2R}$, $\sin B = \frac{b}{2R}$。余弦定理より、$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$, $\cos B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}$。

与えられた式に代入すると、

$a^2 \cdot \frac{b}{2R} \cdot \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} - b^2 \cdot \frac{a}{2R} \cdot \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca} = 0$

$\frac{a^2 (b^2 + c^2 - a^2)}{c} - \frac{b^2 (c^2 + a^2 - b^2)}{c} = 0$

$a^2(b^2 + c^2 - a^2) - b^2(c^2 + a^2 - b^2) = 0$

$a^2b^2 + a^2c^2 - a^4 - b^2c^2 - a^2b^2 + b^4 = 0$

$a^2c^2 - a^4 - b^2c^2 + b^4 = 0$

$c^2(a^2 - b^2) - (a^4 - b^4) = 0$

$c^2(a^2 - b^2) - (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = 0$

$(a^2 - b^2)(c^2 - a^2 - b^2) = 0$

よって、$a^2 - b^2 = 0$または$c^2 - a^2 - b^2 = 0$。

$a^2 = b^2$より、$a = b$。または、$c^2 = a^2 + b^2$より、$C = 90^\circ$。

したがって、$a=b$の二等辺三角形、または、$C=90^\circ$の直角三角形である。

3. 最終的な答え

(1) $b=c$の二等辺三角形

(2) $a=b$の二等辺三角形、または、$C=90^\circ$の直角三角形