(1) xy平面上に定点 $A(0, 1)$ と点 $P$ がある。線分 $AP$ の中点が放物線 $y = x^2$ 上にあるような点 $P$ の軌跡の方程式を求めよ。 (2) 方程式 $x^2 + y^2 - 4kx + (6k - 2)y + 14k^2 - 8k + 1 = 0$ が円を表すとき、定数 $k$ の値の範囲を求めよ。また、$k$ がこの範囲で変化するとき、この円の中心の軌跡を求めよ。

## 解答

1. 問題の内容

(1) xy平面上に定点 $A(0, 1)$ と点 $P$ がある。線分 $AP$ の中点が放物線 $y = x^2$ 上にあるような点 $P$ の軌跡の方程式を求めよ。

(2) 方程式 $x^2 + y^2 - 4kx + (6k - 2)y + 14k^2 - 8k + 1 = 0$ が円を表すとき、定数 $k$ の値の範囲を求めよ。また、$k$ がこの範囲で変化するとき、この円の中心の軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点 $P$ の座標を $(x, y)$ とおく。線分 $AP$ の中点の座標は $\left(\frac{x+0}{2}, \frac{y+1}{2}\right) = \left(\frac{x}{2}, \frac{y+1}{2}\right)$ である。

この中点が放物線 $y = x^2$ 上にあるので、

$$\frac{y+1}{2} = \left(\frac{x}{2}\right)^2$$

$$y + 1 = \frac{x^2}{2}$$

$$y = \frac{1}{2}x^2 - 1$$

したがって、点 $P$ の軌跡の方程式は $y = \frac{1}{2}x^2 - 1$ である。

(2) 方程式 $x^2 + y^2 - 4kx + (6k - 2)y + 14k^2 - 8k + 1 = 0$ を変形して、円の方程式の標準形にする。

$$(x^2 - 4kx) + (y^2 + (6k - 2)y) = -14k^2 + 8k - 1$$

$$(x - 2k)^2 - (2k)^2 + \left(y + \frac{6k - 2}{2}\right)^2 - \left(\frac{6k - 2}{2}\right)^2 = -14k^2 + 8k - 1$$

$$(x - 2k)^2 + (y + (3k - 1))^2 = 4k^2 + (3k - 1)^2 - 14k^2 + 8k - 1$$

$$(x - 2k)^2 + (y + (3k - 1))^2 = 4k^2 + 9k^2 - 6k + 1 - 14k^2 + 8k - 1$$

$$(x - 2k)^2 + (y + (3k - 1))^2 = -k^2 + 2k$$

この方程式が円を表すためには、右辺が正である必要がある。

$$-k^2 + 2k > 0$$

$$k^2 - 2k < 0$$

$$k(k - 2) < 0$$

したがって、 $0 < k < 2$ である。

円の中心の座標を $(X, Y)$ とおくと、

$$X = 2k$$

$$Y = -3k + 1$$

この2式から $k$ を消去する。

$k = \frac{X}{2}$ を $Y = -3k + 1$ に代入すると、

$$Y = -3\left(\frac{X}{2}\right) + 1$$

$$Y = -\frac{3}{2}X + 1$$

よって、円の中心の軌跡の方程式は $y = -\frac{3}{2}x + 1$ である。

また、$0 < k < 2$ より、 $0 < \frac{X}{2} < 2$ なので、$0 < X < 4$ である。

したがって、円の中心の軌跡は直線 $y = -\frac{3}{2}x + 1$ の $0 < x < 4$ の部分である。

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{1}{2}x^2 - 1$

(2) $0 < k < 2$、 $y = -\frac{3}{2}x + 1$ ($0 < x < 4$)