半径5cmの円Oにおいて、中心角がそれぞれ90度、144度、54度である扇形AOB, BOC, CODが与えられている。このとき、円Oの円周の長さと面積、弦ABの長さ、扇形OCDの面積、扇形ODAの面積は扇形OBCの面積の何倍かを求めよ。

1. 問題の内容

半径5cmの円Oにおいて、中心角がそれぞれ90度、144度、54度である扇形AOB, BOC, CODが与えられている。このとき、円Oの円周の長さと面積、弦ABの長さ、扇形OCDの面積、扇形ODAの面積は扇形OBCの面積の何倍かを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円周の長さは $2 \pi r$ で、面積は $\pi r^2$ で求められる。半径 $r=5$ を代入する。

(2) 弦ABの長さを求める。$\triangle AOB$ は $OA = OB = 5$ cm の直角二等辺三角形なので、$AB = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ cm。

(3) 扇形OCDの面積は、円の面積 $\pi r^2$ に $\frac{54}{360}$ を掛ければよい。

(4) 扇形ODAの中心角を求める。

全円の中心角は360度なので、$\angle DOA = 360 - 90 - 144 - 54 = 72$ 度。

扇形ODAの面積は $\pi r^2 \times \frac{72}{360}$。扇形OBCの面積は $\pi r^2 \times \frac{144}{360}$。

扇形ODAの面積を扇形OBCの面積で割ると、 $\frac{72/360}{144/360} = \frac{72}{144} = \frac{1}{2}$。

3. 最終的な答え

(1) 周の長さ: $10 \pi$ cm

面積: $25 \pi$ cm$^2$

(2) $5\sqrt{2}$ cm

(3) $\frac{15}{4}\pi$ cm$^2$

(4) $\frac{1}{2}$ 倍