任意の整数 $n$ に対して、$f(n) = (n+1)(2n^2+n-3)$ が3の倍数であることを示す。

1. 問題の内容

任意の整数 $n$ に対して、$f(n) = (n+1)(2n^2+n-3)$ が3の倍数であることを示す。

2. 解き方の手順

$f(n)$ を因数分解する。

$2n^2 + n - 3$ を因数分解すると、$(2n + 3)(n - 1)$ となる。

したがって、

$$f(n) = (n+1)(2n+3)(n-1) = (n-1)(n+1)(2n+3)$$

$n$ を3で割った余りで場合分けして考える。

(i) $n = 3k$ (kは整数) のとき、

$f(n) = (3k-1)(3k+1)(6k+3) = 3(3k-1)(3k+1)(2k+1)$

となり、$f(n)$ は3の倍数である。

(ii) $n = 3k+1$ (kは整数) のとき、

$f(n) = (3k+1-1)(3k+1+1)(2(3k+1)+3) = (3k)(3k+2)(6k+5) = 3k(3k+2)(6k+5)$

となり、$f(n)$ は3の倍数である。

(iii) $n = 3k+2$ (kは整数) のとき、

$f(n) = (3k+2-1)(3k+2+1)(2(3k+2)+3) = (3k+1)(3k+3)(6k+7) = 3(3k+1)(k+1)(6k+7)$

となり、$f(n)$ は3の倍数である。

いずれの場合も、$f(n)$ は3の倍数である。

3. 最終的な答え

$f(n) = (n+1)(2n^2+n-3)$ は3の倍数である。