正方行列 $A$ について、$A^m = E$ となる自然数 $m$ が存在するとき、$A$ の固有値はすべて $1$ の $m$ 乗根であることを示す。ここで、$E$ は単位行列を表す。

## 問題10

1. 問題の内容

正方行列 $A$ について、$A^m = E$ となる自然数 $m$ が存在するとき、$A$ の固有値はすべて $1$ の $m$ 乗根であることを示す。ここで、$E$ は単位行列を表す。

2. 解き方の手順

$A$ の固有値を $\lambda$、対応する固有ベクトルを $v$ とすると、$Av = \lambda v$ が成り立つ。この両辺に $A$ を $m-1$ 回かけると、

$A^m v = \lambda^m v$

$A^m = E$ より、

$E v = \lambda^m v$

$v = \lambda^m v$

$(1 - \lambda^m)v = 0$

$v$ は固有ベクトルなので $v \neq 0$。したがって、

$1 - \lambda^m = 0$

$\lambda^m = 1$

これは $\lambda$ が 1 の $m$ 乗根であることを示す。

3. 最終的な答え

したがって、$A$ の固有値 $\lambda$ はすべて 1 の $m$ 乗根である。

## 問題11

1. 問題の内容

対角化可能なべき零行列は零行列に限ることを示す。

2. 解き方の手順

$A$ をべき零行列とする。すなわち、$A^k = 0$ となる自然数 $k$ が存在する。

$A$ が対角化可能であると仮定すると、ある正則行列 $P$ が存在して、$A = PDP^{-1}$ と表せる。ここで、$D$ は対角行列である。

$A^k = (PDP^{-1})^k = PD^kP^{-1} = 0$ であるから、$D^k = 0$ となる。

$D$ は対角行列であるから、$D^k$ も対角行列であり、その対角成分は $D$ の対応する対角成分の $k$ 乗である。

したがって、$D^k = 0$ であるためには、$D$ のすべての対角成分が 0 でなければならない。

つまり、$D$ は零行列である。

よって、$A = PDP^{-1} = P0P^{-1} = 0$ となり、$A$ は零行列である。

3. 最終的な答え

対角化可能なべき零行列は零行列に限る。

## 問題12

1. 問題の内容

$A^2 = A$ を満たす正方行列 $A$ の固有値は 0 か 1 であることを示す。このような行列をべき等行列という。

2. 解き方の手順

$A$ の固有値を $\lambda$、対応する固有ベクトルを $v$ とすると、$Av = \lambda v$ が成り立つ。

$A^2 = A$ より、$A^2 v = A v$ である。

$A^2 v = A(Av) = A(\lambda v) = \lambda (Av) = \lambda (\lambda v) = \lambda^2 v$ である。

したがって、$\lambda^2 v = \lambda v$ が成り立つ。

$(\lambda^2 - \lambda) v = 0$

$\lambda (\lambda - 1) v = 0$

$v$ は固有ベクトルなので $v \neq 0$。したがって、

$\lambda (\lambda - 1) = 0$

$\lambda = 0$ または $\lambda = 1$

3. 最終的な答え

$A^2 = A$ を満たす正方行列 $A$ の固有値は 0 か 1 である。