連立方程式 $ \begin{cases} 2^{x-1} + 3^{y+1} = 29 \\ 2^{x+1} - 3^{y-1} = 5 \end{cases} $ の解 $x, y$ を求めよ。

1. 問題の内容

連立方程式 $\begin{cases} 2^{x-1} + 3^{y+1} = 29 \\ 2^{x+1} - 3^{y-1} = 5 \end{cases}$ の解 $x, y$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立方程式を変形します。

$\begin{cases} 2^{x-1} + 3^{y+1} = 29 \\ 2^{x+1} - 3^{y-1} = 5 \end{cases}$

これは次のように書き換えられます。

$\begin{cases} \frac{2^x}{2} + 3 \cdot 3^y = 29 \\ 2 \cdot 2^x - \frac{3^y}{3} = 5 \end{cases}$

ここで、$2^x = A$、$3^y = B$ とおくと、連立方程式は

$\begin{cases} \frac{A}{2} + 3B = 29 \\ 2A - \frac{B}{3} = 5 \end{cases}$

となります。この連立方程式を解きます。

最初の式を2倍すると、 $A + 6B = 58$ となります。よって、$A = 58 - 6B$ です。

これを2番目の式に代入します。

$2(58 - 6B) - \frac{B}{3} = 5$

$116 - 12B - \frac{B}{3} = 5$

$111 = 12B + \frac{B}{3} = \frac{37B}{3}$

$B = \frac{111 \cdot 3}{37} = 3 \cdot 3 = 9$

$B = 9$ を $A = 58 - 6B$ に代入すると、

$A = 58 - 6(9) = 58 - 54 = 4$

したがって、$A=4$, $B=9$ です。

$2^x = A = 4 = 2^2$ より、$x = 2$

$3^y = B = 9 = 3^2$ より、$y = 2$

3. 最終的な答え

$x = 2$

$y = 2$