$n$ 次正方行列 $A$ について、$A$ の固有値がすべて $0$ であることと、$A$ がべき零行列であることの同値性を示す問題です。ここで、$A$ がべき零行列であるとは、$A^m = 0$ となる自然数 $m$ が存在するときをいいます。

1. 問題の内容

$n$ 次正方行列 $A$ について、$A$ の固有値がすべて $0$ であることと、$A$ がべき零行列であることの同値性を示す問題です。ここで、$A$ がべき零行列であるとは、$A^m = 0$ となる自然数 $m$ が存在するときをいいます。

2. 解き方の手順

まず、$A$ の固有値がすべて $0$ であるならば、$A$ がべき零行列であることを示します。次に、$A$ がべき零行列ならば、$A$ の固有値がすべて $0$ であることを示します。

(1) $A$ の固有値がすべて $0$ であるならば、$A$ がべき零行列であることの証明：

$A$ の特性多項式を $p(\lambda)$ とすると、固有値がすべて $0$ なので、

$p(\lambda) = \lambda^n$

となります。

ケーリー・ハミルトンの定理より、$p(A) = 0$ です。したがって、

$A^n = 0$

となります。よって、$A$ はべき零行列です。

(2) $A$ がべき零行列ならば、$A$ の固有値がすべて $0$ であることの証明：

$A$ がべき零行列であると仮定すると、$A^m = 0$ となる自然数 $m$ が存在します。

$\lambda$ を $A$ の固有値とし、$v$ を対応する固有ベクトルとすると、

$Av = \lambda v$

が成り立ちます。この式を $m$ 回繰り返すと、

$A^m v = \lambda^m v$

となります。$A^m = 0$ であるから、

$0 = A^m v = \lambda^m v$

となります。$v$ は固有ベクトルなので、$v \neq 0$ です。したがって、

$\lambda^m = 0$

となり、$\lambda = 0$ となります。

よって、$A$ の固有値はすべて $0$ です。

3. 最終的な答え

$n$ 次正方行列 $A$ について、$A$ の固有値がすべて $0$ であることと、$A$ がべき零行列であることは同値である。