長さ40cmの針金を2つに切り、それぞれを折り曲げて2つの正方形を作る。2つの正方形の面積の和を最小にするには、針金をどのように切れば良いか。また、その面積の和の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

長さ40cmの針金を2つに切り、それぞれを折り曲げて2つの正方形を作る。2つの正方形の面積の和を最小にするには、針金をどのように切れば良いか。また、その面積の和の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

針金を$x$ cmと$(40-x)$ cmの2つに切るとする。

それぞれの針金で正方形を作るので、1つの正方形の1辺の長さは$\frac{x}{4}$ cm、もう一方の正方形の1辺の長さは$\frac{40-x}{4}$ cmとなる。

それぞれの正方形の面積は$(\frac{x}{4})^2$と$(\frac{40-x}{4})^2$となる。

したがって、面積の和$S$は、

$S = (\frac{x}{4})^2 + (\frac{40-x}{4})^2$

$S = \frac{x^2}{16} + \frac{1600 - 80x + x^2}{16}$

$S = \frac{2x^2 - 80x + 1600}{16}$

$S = \frac{1}{8}x^2 - 5x + 100$

$S$を最小にする$x$を求めるために、平方完成を行う。

$S = \frac{1}{8}(x^2 - 40x) + 100$

$S = \frac{1}{8}(x^2 - 40x + 400 - 400) + 100$

$S = \frac{1}{8}(x - 20)^2 - \frac{400}{8} + 100$

$S = \frac{1}{8}(x - 20)^2 - 50 + 100$

$S = \frac{1}{8}(x - 20)^2 + 50$

したがって、$x = 20$のとき、$S$は最小値50をとる。

針金を20cmと20cmに切るときに、面積の和は最小となる。

3. 最終的な答え

針金を20cmと20cmに切る。面積の和の最小値は50平方cm。