長さ40cmの針金を2つに切り、それぞれの針金を折り曲げて正方形を2つ作る。2つの正方形の面積の和を最小にするには、針金をどのように切ればよいか。また、そのときの面積の和の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

長さ40cmの針金を2つに切り、それぞれの針金を折り曲げて正方形を2つ作る。2つの正方形の面積の和を最小にするには、針金をどのように切ればよいか。また、そのときの面積の和の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

針金を$x$ cmと$40-x$ cmに切るとする。

それぞれの針金で正方形を作るので、1辺の長さはそれぞれ $\frac{x}{4}$ cmと $\frac{40-x}{4}$ cmとなる。

それぞれの正方形の面積は $(\frac{x}{4})^2$ と $(\frac{40-x}{4})^2$ となる。

面積の和 $S$ は、

$S = (\frac{x}{4})^2 + (\frac{40-x}{4})^2$

$S = \frac{x^2}{16} + \frac{(40-x)^2}{16}$

$S = \frac{x^2 + (40-x)^2}{16}$

$S = \frac{x^2 + 1600 - 80x + x^2}{16}$

$S = \frac{2x^2 - 80x + 1600}{16}$

$S = \frac{1}{8}x^2 - 5x + 100$

$S = \frac{1}{8}(x^2 - 40x) + 100$

$S = \frac{1}{8}(x^2 - 40x + 400 - 400) + 100$

$S = \frac{1}{8}(x-20)^2 - \frac{400}{8} + 100$

$S = \frac{1}{8}(x-20)^2 - 50 + 100$

$S = \frac{1}{8}(x-20)^2 + 50$

$S$ を最小にする $x$ は $x=20$ のときである。

このとき最小値は50となる。

よって、針金を20cmと20cmに切れば、面積の和が最小になる。

3. 最終的な答え

針金を20cmと20cmに切るとき、面積の和は最小値50 $cm^2$となる。