半径$a$の円に内接する二等辺三角形がある。高さを$x$とするとき、以下の問いに答える。 (1) 二等辺三角形の面積$S$を$x$の式で表し、また、$x$の変域を求める。 (2) $S$が最大になるときの$x$の値を求める。

1. 問題の内容

半径$a$の円に内接する二等辺三角形がある。高さを$x$とするとき、以下の問いに答える。

(1) 二等辺三角形の面積$S$を$x$の式で表し、また、$x$の変域を求める。

(2) $S$が最大になるときの$x$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

二等辺三角形の底辺の半分を$b$とすると、三平方の定理より

$a^2 = b^2 + (x-a)^2$

$a^2 = b^2 + x^2 - 2ax + a^2$

$b^2 = 2ax - x^2$

$b = \sqrt{2ax - x^2}$

したがって、二等辺三角形の底辺は$2b = 2\sqrt{2ax - x^2}$となる。

面積$S$は、$S = \frac{1}{2} \times (2\sqrt{2ax - x^2}) \times x = x\sqrt{2ax - x^2}$

$S = x\sqrt{2ax - x^2}$

$x$の変域について、$x > 0$である。また、$2ax - x^2 \ge 0$である必要があるので、$x(2a - x) \ge 0$。したがって、$0 \le x \le 2a$。

$x > 0$より、$0 < x \le 2a$。

(2)

$S^2 = x^2(2ax - x^2) = 2ax^3 - x^4$

$S^2$を$x$で微分する。

$\frac{d(S^2)}{dx} = 6ax^2 - 4x^3 = 2x^2(3a - 2x)$

$\frac{d(S^2)}{dx} = 0$とすると、$x = 0, \frac{3a}{2}$

$x$の変域は$0 < x \le 2a$なので、$x = 0$は除外される。

$x = \frac{3a}{2}$のとき、$S^2$が最大となるかどうかを調べる。

$0 < x < \frac{3a}{2}$のとき、$3a - 2x > 0$なので、$\frac{d(S^2)}{dx} > 0$

$\frac{3a}{2} < x \le 2a$のとき、$3a - 2x < 0$なので、$\frac{d(S^2)}{dx} < 0$

したがって、$x = \frac{3a}{2}$のとき、$S^2$は最大となる。$S$も最大となる。

3. 最終的な答え

(1) $S = x\sqrt{2ax - x^2}$

$0 < x \le 2a$

(2) $x = \frac{3a}{2}$