円錐の展開図が与えられており、底面の半径が2cm、母線の長さが6cmである。以下の3つの問いに答える。 (1) 側面のおうぎ形の弧の長さを求める。 (2) 側面のおうぎ形の中心角を求める。 (3) 円錐の表面積を求める。

はい、承知いたしました。問題の解答を以下に示します。

1. 問題の内容

円錐の展開図が与えられており、底面の半径が2cm、母線の長さが6cmである。以下の3つの問いに答える。

(1) 側面のおうぎ形の弧の長さを求める。

(2) 側面のおうぎ形の中心角を求める。

(3) 円錐の表面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 側面のおうぎ形の弧の長さは、底面の円周の長さに等しい。

底面の半径は2cmなので、底面の円周は $2 \times \pi \times 2 = 4\pi$ cm。

(2) 側面のおうぎ形の中心角を求める。

おうぎ形の弧の長さ $l$、半径 $r$、中心角 $\theta$ (ラジアン) の間には、$l = r\theta$ の関係がある。

ここでは、おうぎ形の弧の長さは $4\pi$ cm、半径は6cmなので、$4\pi = 6\theta$。

したがって、$\theta = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$ ラジアン。

度数法に変換すると、$\theta = \frac{2\pi}{3} \times \frac{180}{\pi} = 120$ 度。

(3) 円錐の表面積を求める。

円錐の表面積は、側面積と底面積の和で求められる。

側面積は、おうぎ形の面積として計算する。

おうぎ形の面積は、$S = \frac{1}{2}rl$ で求められ、ここでは $r=6$ cm, $l=4\pi$ cmなので、$S = \frac{1}{2} \times 6 \times 4\pi = 12\pi$ cm$^2$。

底面積は、半径2cmの円の面積なので、$A = \pi \times 2^2 = 4\pi$ cm$^2$。

したがって、円錐の表面積は $12\pi + 4\pi = 16\pi$ cm$^2$。

3. 最終的な答え

(1) 側面のおうぎ形の弧の長さ: $4\pi$ cm

(2) 側面のおうぎ形の中心角: $120$ 度

(3) 円錐の表面積: $16\pi$ cm$^2$