問題10.1：$\pi < \theta < 2\pi$のとき、$\sin\theta = -\frac{3}{5}$のときの$\cos\theta$と$\tan\theta$の値を求める。 問題10.2：関数 $y = \tan(\theta - \frac{\pi}{4})$のグラフを描く。

1. 問題の内容

問題10.1：$\pi < \theta < 2\pi$のとき、$\sin\theta = -\frac{3}{5}$のときの$\cos\theta$と$\tan\theta$の値を求める。

問題10.2：関数 $y = \tan(\theta - \frac{\pi}{4})$のグラフを描く。

2. 解き方の手順

問題10.1：

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$の関係を利用して$\cos\theta$を求める。

$\sin\theta = -\frac{3}{5}$なので、

$(-\frac{3}{5})^2 + \cos^2\theta = 1$

$\frac{9}{25} + \cos^2\theta = 1$

$\cos^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$\cos\theta = \pm\frac{4}{5}$

$\pi < \theta < 2\pi$より、$\theta$は第3象限または第4象限にある。この範囲では$\sin\theta$は負の値をとるが、$\cos\theta$は第3象限では負、第4象限では正の値をとる。今回$\sin\theta$が負なので、$\theta$は第3象限か第4象限である。

問題文の条件$\pi < \theta < 2\pi$と$\sin\theta = -\frac{3}{5}$より$\theta$は第3象限ではないので、$\cos\theta >0$で$\cos\theta = \frac{4}{5}$となる。

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$なので、

$\tan\theta = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}$

問題10.2：

関数 $y = \tan(\theta - \frac{\pi}{4})$ のグラフを描く。これは、$y = \tan\theta$ のグラフを$\theta$軸方向に$\frac{\pi}{4}$だけ平行移動したものである。

$y = \tan\theta$の漸近線は$\theta = \frac{\pi}{2} + n\pi$ （$n$は整数）であるから、$y = \tan(\theta - \frac{\pi}{4})$の漸近線は$\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + n\pi$、つまり$\theta = \frac{3\pi}{4} + n\pi$ （$n$は整数）となる。

3. 最終的な答え

問題10.1：

$\cos\theta = \frac{4}{5}$

$\tan\theta = -\frac{3}{4}$

問題10.2：

$y = \tan(\theta - \frac{\pi}{4})$のグラフ。漸近線は$\theta = \frac{3\pi}{4} + n\pi$（$n$は整数）。グラフは$y = \tan\theta$のグラフを$\theta$軸方向に$\frac{\pi}{4}$だけ平行移動したもの。