$y = e^{2x}$ の第 $n$ 次導関数を求める問題です。ここで、$n$ は自然数です。

1. 問題の内容

$y = e^{2x}$ の第 $n$ 次導関数を求める問題です。ここで、$n$ は自然数です。

2. 解き方の手順

まず、いくつかの低次の導関数を計算して、規則性を見つけます。

* 1次導関数: $y' = \frac{d}{dx} e^{2x} = 2e^{2x}$

* 2次導関数: $y'' = \frac{d^2}{dx^2} e^{2x} = \frac{d}{dx} (2e^{2x}) = 4e^{2x} = 2^2 e^{2x}$

* 3次導関数: $y''' = \frac{d^3}{dx^3} e^{2x} = \frac{d}{dx} (4e^{2x}) = 8e^{2x} = 2^3 e^{2x}$

これらの結果から、$n$次導関数は $2^n e^{2x}$ と推測できます。

数学的帰納法でこれを証明することもできますが、ここでは省略します。

3. 最終的な答え

$y = e^{2x}$ の第$n$次導関数は $2^n e^{2x}$ です。

したがって、$y^{(n)} = 2^n e^{2x}$