$a > 0$ かつ $b > 0$ のとき、不等式 $(\frac{a}{2} + b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{2b}) \ge [\text{ア}]$ が成り立つ。$[\text{ア}]$ に入る値と、等号が成立する場合を選択する。

1. 問題の内容

$a > 0$ かつ $b > 0$ のとき、不等式 $(\frac{a}{2} + b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{2b}) \ge [\text{ア}]$ が成り立つ。$[\text{ア}]$ に入る値と、等号が成立する場合を選択する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式の左辺を展開する。

$(\frac{a}{2} + b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{2b}) = \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{a} + \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{2b} + b \cdot \frac{1}{a} + b \cdot \frac{1}{2b}$

$= \frac{1}{2} + \frac{a}{4b} + \frac{b}{a} + \frac{1}{2}$

$= 1 + \frac{a}{4b} + \frac{b}{a}$

ここで、相加平均と相乗平均の関係を用いる。$x > 0, y > 0$ のとき、$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$ が成り立つ。

$\frac{a}{4b} + \frac{b}{a} \ge 2 \sqrt{\frac{a}{4b} \cdot \frac{b}{a}} = 2 \sqrt{\frac{1}{4}} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

したがって、

$(\frac{a}{2} + b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{2b}) = 1 + \frac{a}{4b} + \frac{b}{a} \ge 1 + 1 = 2$

よって、$[\text{ア}] = 2$ となる。

等号成立条件は、$\frac{a}{4b} = \frac{b}{a}$ のときである。

$a^2 = 4b^2$

$a = 2b$ (∵ $a>0, b>0$)

3. 最終的な答え

* $[\text{ア}] = 2$

* 等号は $a = 2b$ のとき