放物線 $y = x^2 - 3x + 4$ を平行移動した結果、新たな放物線ができる。この放物線は点 $(2, 4)$ を通り、頂点が直線 $y = 2x + 1$ 上にある。新たな放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 3x + 4$ を平行移動した結果、新たな放物線ができる。この放物線は点 $(2, 4)$ を通り、頂点が直線 $y = 2x + 1$ 上にある。新たな放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^2 - 3x + 4$ を平方完成する。

$y = (x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + 4 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + \frac{16}{4} = (x - \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}$

したがって、$y = x^2 - 3x + 4$ の頂点は $(\frac{3}{2}, \frac{7}{4})$ である。

平行移動後の放物線の頂点を $(p, q)$ とすると、放物線の方程式は $y = (x - p)^2 + q$ と表せる。

頂点 $(p, q)$ は直線 $y = 2x + 1$ 上にあるので、$q = 2p + 1$ が成り立つ。

したがって、放物線の方程式は $y = (x - p)^2 + 2p + 1$ と表せる。

放物線は点 $(2, 4)$ を通るので、この点を代入すると

$4 = (2 - p)^2 + 2p + 1$

$4 = 4 - 4p + p^2 + 2p + 1$

$0 = p^2 - 2p + 1$

$0 = (p - 1)^2$

よって、$p = 1$ である。

$q = 2p + 1 = 2(1) + 1 = 3$

したがって、頂点は $(1, 3)$ である。

放物線の方程式は $y = (x - 1)^2 + 3$ となる。

展開すると、 $y = x^2 - 2x + 1 + 3 = x^2 - 2x + 4$ となる。

3. 最終的な答え

$y = x^2 - 2x + 4$