ある放物線を $x$ 軸に関して対称移動し、次に $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動し、再び $x$ 軸に関して対称移動したところ、放物線 $y = x^2$ が得られた。最初の放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

ある放物線を $x$ 軸に関して対称移動し、次に $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動し、再び $x$ 軸に関して対称移動したところ、放物線 $y = x^2$ が得られた。最初の放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

最終的な放物線の方程式 $y = x^2$ から逆算して、元の放物線の方程式を求める。

ステップ1: 最後に $x$ 軸に関して対称移動した結果が $y = x^2$ なので、その前の放物線の方程式は $y$ を $-y$ に置き換えることで得られる。

$-y = x^2$ より

$y = -x^2$

ステップ2: $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動する前の放物線の方程式は、$y = -x^2$ を $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動することで得られる。つまり、$x$ を $x - 2$ に、$y$ を $y + 3$ に置き換える。

$y + 3 = -(x - 2)^2$ より

$y = -(x - 2)^2 - 3$

$y = -(x^2 - 4x + 4) - 3$

$y = -x^2 + 4x - 4 - 3$

$y = -x^2 + 4x - 7$

ステップ3: 最初に $x$ 軸に関して対称移動する前の放物線の方程式は、$y = -x^2 + 4x - 7$ を $x$ 軸に関して対称移動することで得られる。つまり、$y$ を $-y$ に置き換える。

$-y = -x^2 + 4x - 7$ より

$y = x^2 - 4x + 7$

したがって、最初の放物線の方程式は $y = x^2 - 4x + 7$ である。

3. 最終的な答え

$y = x^2 - 4x + 7$