数列$\{a_n\}$が、$a_1 = -1$ および $a_{n+1} = a_n + 2 \cdot 3^{n-1}$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$が、$a_1 = -1$ および $a_{n+1} = a_n + 2 \cdot 3^{n-1}$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この漸化式は階差数列型なので、以下の手順で解きます。

まず、与えられた漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2 \cdot 3^{n-1}$ から、$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k)$

が成り立ちます。

与えられた漸化式より、$a_{k+1} - a_k = 2 \cdot 3^{k-1}$ なので、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2 \cdot 3^{k-1}$

$a_1 = -1$ を代入すると、

$a_n = -1 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-1}$

ここで、$\sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-1}$ は初項1、公比3、項数$n-1$の等比数列の和なので、

$\sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-1} = \frac{1 \cdot (3^{n-1} - 1)}{3 - 1} = \frac{3^{n-1} - 1}{2}$

よって、

$a_n = -1 + 2 \cdot \frac{3^{n-1} - 1}{2} = -1 + 3^{n-1} - 1 = 3^{n-1} - 2$

これは、$n \ge 2$のときのみ成り立つ式であるため、$n = 1$のときも成り立つか確認します。$n = 1$のとき、$a_1 = 3^{1-1} - 2 = 3^0 - 2 = 1 - 2 = -1$ となり、与えられた条件 $a_1 = -1$ と一致します。

したがって、すべての$n$に対して、$a_n = 3^{n-1} - 2$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = 3^{n-1} - 2$