問題は、実数 $x$ に関する2つの命題の真偽を判定することです。 (1) $|x| < 3$ ならば $x < 3$ (2) $|x| \le 2$ ならば $|x-1| < 3$

1. 問題の内容

問題は、実数 $x$ に関する2つの命題の真偽を判定することです。

(1) $|x| < 3$ ならば $x < 3$

(2) $|x| \le 2$ ならば $|x-1| < 3$

2. 解き方の手順

(1) $|x| < 3$ ならば $x < 3$

$|x| < 3$ は $-3 < x < 3$ を意味します。

したがって、$x$ は $-3$ より大きく $3$ より小さいすべての実数をとります。

この範囲のすべての $x$ は、$x < 3$ を満たします。

なぜなら、$x$ の最大値が $3$ より小さいからです。

よって、この命題は真です。

(2) $|x| \le 2$ ならば $|x-1| < 3$

$|x| \le 2$ は $-2 \le x \le 2$ を意味します。

このとき、$x-1$ は $-2-1 \le x-1 \le 2-1$ より $-3 \le x-1 \le 1$ となります。

したがって、$|x-1|$ は $3$ 以下です。

$-3 \le x-1 \le 1$ より、 $-3 < x-1 < 3$ が成り立つため、$|x-1| < 3$ が成り立ちます。

よって、この命題は真です。

3. 最終的な答え

(1) 真

(2) 真