画像に写っている数学の問題のうち、以下の3問を解きます。 (3) 不等式 $|2x-3| > 1$ を解きなさい。 (4) 放物線 $y = -x^2 - 4x + 1$ の頂点の座標を求めよ。 (5) 2次不等式 $3x^2 + 5x - 12 < 0$ を解きなさい。 (6) 2次方程式 $2x^2 - 3x - m + 1 = 0$ が重解をもつとき、定数 $m$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

画像に写っている数学の問題のうち、以下の3問を解きます。

(3) 不等式 $|2x-3| > 1$ を解きなさい。

(4) 放物線 $y = -x^2 - 4x + 1$ の頂点の座標を求めよ。

(5) 2次不等式 $3x^2 + 5x - 12 < 0$ を解きなさい。

(6) 2次方程式 $2x^2 - 3x - m + 1 = 0$ が重解をもつとき、定数 $m$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(3) 不等式 $|2x-3| > 1$ を解く。

絶対値記号を外すために、場合分けを行います。

場合1: $2x-3 \geq 0$ のとき、すなわち $x \geq \frac{3}{2}$ のとき。

このとき、$|2x-3| = 2x-3$ なので、不等式は $2x-3 > 1$ となります。

これを解くと、$2x > 4$ より、$x > 2$ となります。

$x \geq \frac{3}{2}$ かつ $x > 2$ なので、$x > 2$ がこの場合の解です。

場合2: $2x-3 < 0$ のとき、すなわち $x < \frac{3}{2}$ のとき。

このとき、$|2x-3| = -(2x-3) = -2x+3$ なので、不等式は $-2x+3 > 1$ となります。

これを解くと、$-2x > -2$ より、$x < 1$ となります。

$x < \frac{3}{2}$ かつ $x < 1$ なので、$x < 1$ がこの場合の解です。

以上より、解は $x < 1$ または $x > 2$ となります。

(4) 放物線 $y = -x^2 - 4x + 1$ の頂点の座標を求める。

平方完成を行います。

$y = -(x^2 + 4x) + 1 = -(x^2 + 4x + 4 - 4) + 1 = -((x+2)^2 - 4) + 1 = -(x+2)^2 + 4 + 1 = -(x+2)^2 + 5$

したがって、頂点の座標は $(-2, 5)$ となります。

(5) 2次不等式 $3x^2 + 5x - 12 < 0$ を解く。

まず、$3x^2 + 5x - 12 = 0$ の解を求めます。

因数分解すると、 $(3x-4)(x+3) = 0$ となるので、$x = \frac{4}{3}$ または $x = -3$ です。

したがって、不等式 $3x^2 + 5x - 12 < 0$ の解は $-3 < x < \frac{4}{3}$ となります。

(6) 2次方程式 $2x^2 - 3x - m + 1 = 0$ が重解をもつとき、定数 $m$ の値を求める。

2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D$ が $0$ であることです。

判別式は $D = b^2 - 4ac$ で与えられます。

この問題では、$a = 2$, $b = -3$, $c = -m + 1$ なので、

$D = (-3)^2 - 4(2)(-m+1) = 9 - 8(-m+1) = 9 + 8m - 8 = 8m + 1$

$D = 0$ より、$8m + 1 = 0$ なので、$m = -\frac{1}{8}$ となります。

3. 最終的な答え

(3) $x < 1$ または $x > 2$

(4) $(-2, 5)$

(5) $-3 < x < \frac{4}{3}$

(6) $m = -\frac{1}{8}$