次の2つの関数のグラフを描く問題です。 (1) $f(x) = \sqrt{-3x - 2}$ (2) $f(x) = \frac{2x + 1}{2x + 3}$

1. 問題の内容

次の2つの関数のグラフを描く問題です。

(1) $f(x) = \sqrt{-3x - 2}$

(2) $f(x) = \frac{2x + 1}{2x + 3}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \sqrt{-3x - 2}$ のグラフ

- まず、根号の中が0以上になる条件を求めます。

$-3x - 2 \geq 0$

$-3x \geq 2$

$x \leq -\frac{2}{3}$

- 定義域は $x \leq -\frac{2}{3}$ です。

- $f(x) = \sqrt{-3x - 2} = \sqrt{-3(x + \frac{2}{3})}$

- これは $y = \sqrt{-3x}$ のグラフを $x$ 軸方向に $-\frac{2}{3}$ だけ平行移動したものです。

- $y = \sqrt{-3x}$ は $y = \sqrt{x}$ を $y$ 軸に関して対称移動し、さらに $x$ 軸方向に $1/3$ 倍に縮小したものです。

- グラフは、$x \leq -\frac{2}{3}$ において定義され、単調減少な曲線となります。点 $(-\frac{2}{3}, 0)$ を通り、$x$ が小さくなるにつれて $y$ の値は増加します。

(2) $f(x) = \frac{2x + 1}{2x + 3}$ のグラフ

- $f(x)$ を変形します。

$f(x) = \frac{2x + 3 - 2}{2x + 3} = \frac{2x + 3}{2x + 3} - \frac{2}{2x + 3} = 1 - \frac{2}{2x + 3} = 1 - \frac{1}{x + \frac{3}{2}}$

- これは $y = -\frac{1}{x}$ のグラフを $x$ 軸方向に $-\frac{3}{2}$ だけ平行移動し、$y$ 軸方向に 1 だけ平行移動したものです。

- $y = -\frac{1}{x}$ は双曲線です。

- 漸近線は $x = -\frac{3}{2}$ と $y = 1$ です。

- $x$ の定義域は $x \neq -\frac{3}{2}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = \sqrt{-3x - 2}$ のグラフ：定義域は $x \leq -\frac{2}{3}$ で、$(-\frac{2}{3}, 0)$ を通り、$x$ が小さくなるにつれて $y$ の値は増加する。

(2) $f(x) = \frac{2x + 1}{2x + 3}$ のグラフ：漸近線は $x = -\frac{3}{2}$ と $y = 1$ である双曲線。