1から12の目が同様に確からしく出るサイコロを1つ振ったときの確率変数Xについて、確率密度関数f(x)と分布関数F(x)を求め、表を完成させる。また、f(a)+f(b)+f(c)+f(d)の値、F(b+|a-d|)の値、Xの平均μに対してf(2μ-d-1)の値、分散σ^2に対してF(σ^2-d)の値を計算する。さらに、記述の中から適切な選択肢を選ぶ。最後に、この問題における重要なキーワードを1つ答える。

1. 問題の内容

1から12の目が同様に確からしく出るサイコロを1つ振ったときの確率変数Xについて、確率密度関数f(x)と分布関数F(x)を求め、表を完成させる。また、f(a)+f(b)+f(c)+f(d)の値、F(b+|a-d|)の値、Xの平均μに対してf(2μ-d-1)の値、分散σ^2に対してF(σ^2-d)の値を計算する。さらに、記述の中から適切な選択肢を選ぶ。最後に、この問題における重要なキーワードを1つ答える。

2. 解き方の手順

まず、確率密度関数f(x)を求める。各目は同様に確からしいので、f(x) = 1/12 (x=1,2,...,12)となる。

次に、xf(x)を計算する。これは、各目の値にその確率をかけたものである。

次に、分布関数F(x)を求める。F(x)は、Xがx以下の値を取る確率である。F(x) = Σ[i=1 to x] f(i) = x/12 (x=1,2,...,12)となる。

表を埋める:

* f(x)の各欄は1/12で埋める。合計は1になる。

* xf(x)の各欄はx/12で埋める。合計は(1+2+...+12)/12 = (12*13/2)/12 = 13/2 = 6.5

* F(x)の各欄はx/12で埋める。F(1)=1/12, F(2)=2/12=1/6, F(3)=3/12=1/4, F(4)=4/12=1/3, F(5)=5/12, F(6)=6/12=1/2, F(7)=7/12, F(8)=8/12=2/3, F(9)=9/12=3/4, F(10)=10/12=5/6, F(11)=11/12, F(12)=1

次に、平均μと分散σ^2を計算する。

平均μ = E[X] = Σ[x=1 to 12] x*f(x) = 6.5

分散σ^2 = E[(X-μ)^2] = Σ[x=1 to 12] (x-6.5)^2 * f(x) = (1/12) * Σ[x=1 to 12] (x-6.5)^2 = 143/12 ≈ 11.917

f(a)+f(b)+f(c)+f(d)の値は、a, b, c, dの値が不明なので、4/12=1/3となる。

F(b+|a-d|)の値は、a, b, dの値が不明なので計算できない。

f(2μ-d-1) = f(2*6.5-d-1) = f(12-d) = 1/12

F(σ^2-d) = F(143/12-d)の値は、dの値が不明なので計算できない。

選択肢の検討：

1. f(a) + f(12 - a) = 1/12 + 1/12 = 2/12 = 1/6。f(6) = 1/12なので、これは誤り。

2. x = 10は、x = 3とx = 7の和なので、f(10)はf(3)とf(7)の和です。f(10) = 1/12。f(3) + f(7) = 1/12 + 1/12 = 2/12 = 1/6なので、これは誤り。

3. F(a) + F(12 - a) = F(6)。F(a) + F(12 - a) = a/12 + (12-a)/12 = 12/12 = 1。F(6) = 6/12 = 1/2なので、これは誤り。

4. x = 10は、x = 3とx = 7の和なので、F(10)はF(3)とF(7)の和です。F(10) = 10/12 = 5/6。F(3) + F(7) = 3/12 + 7/12 = 10/12 = 5/6なので、これは正しい。

5. f(x)は2≤x≤5で連続しています。f(x)は離散的な値しか取らないので、これは誤り。

6. F(x)は 5≤x≤9で連続しています。F(x)は離散的な値しか取らないので、これは誤り。

よって、適切な選択肢は4。

キーワードは「確率」

3. 最終的な答え

確率密度関数f(x) = 1/12 (x=1,2,...,12)

分布関数F(x) = x/12 (x=1,2,...,12)

平均μ = 6.5

分散σ^2 = 143/12

f(a)+f(b)+f(c)+f(d) = 1/3

f(2μ-d-1) = 1/12

適切な選択肢: 4

キーワード: 確率