1から12の目が同様に確からしいサイコロを1つ振ったときの確率密度関数 $f(x)$ と分布関数 $F(x)$ を求め、表を完成させる。また、 $f(a)+f(b)+f(c)+f(d)$ の値、 $F(b+|a-d|)$ の値、平均 $\mu$ に対して $f(2\mu-d-1)$ の値、分散 $\sigma^2$ に対して $F(\sigma^2 - d)$ の値を計算する。最後に、与えられた選択肢の中から適切なものを選び、設問2に対するキーワードを一つ書く。

1. 問題の内容

1から12の目が同様に確からしいサイコロを1つ振ったときの確率密度関数 $f(x)$ と分布関数 $F(x)$ を求め、表を完成させる。また、 $f(a)+f(b)+f(c)+f(d)$ の値、 $F(b+|a-d|)$ の値、平均 $\mu$ に対して $f(2\mu-d-1)$ の値、分散 $\sigma^2$ に対して $F(\sigma^2 - d)$ の値を計算する。最後に、与えられた選択肢の中から適切なものを選び、設問2に対するキーワードを一つ書く。

2. 解き方の手順

(1) 表の作成:

* $f(x)$: 1から12の目が同様に確からしいので、各 $x$ に対して $f(x) = \frac{1}{12}$。

* $xf(x)$: 各 $x$ に対して $x \cdot f(x) = x \cdot \frac{1}{12} = \frac{x}{12}$。

* $F(x)$: 分布関数は累積確率なので、$F(x) = \sum_{i=1}^{x} f(i) = \frac{x}{12}$。

表に値を記入する。

| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 合計 |

| :---- | :------- | :------- | :------- | :------- | :------- | :------- | :------- | :------- | :------- | :------- | :------- | :------- | :-------- |

| f(x) | 1/12 | 1/12 | 1/12 | 1/12 | 1/12 | 1/12 | 1/12 | 1/12 | 1/12 | 1/12 | 1/12 | 1/12 | 1 |

| xf(x) | 1/12 | 2/12 | 3/12 | 4/12 | 5/12 | 6/12 | 7/12 | 8/12 | 9/12 | 10/12 | 11/12 | 12/12 | 78/12=6.5 |

| F(x) | 1/12 | 2/12 | 3/12 | 4/12 | 5/12 | 6/12 | 7/12 | 8/12 | 9/12 | 10/12 | 11/12 | 12/12 | |

(2) 平均 $\mu$ と分散 $\sigma^2$ の計算:

* $\mu = \sum_{x=1}^{12} x f(x) = \frac{78}{12} = 6.5$

* $\sigma^2 = \sum_{x=1}^{12} (x-\mu)^2 f(x) = \sum_{x=1}^{12} (x-6.5)^2 \frac{1}{12}$

$= \frac{1}{12} [(1-6.5)^2 + (2-6.5)^2 + \dots + (12-6.5)^2] = \frac{1}{12} \cdot 143 = \frac{143}{12} \approx 11.92$

(3) $f(a)+f(b)+f(c)+f(d)$ の値：

$a,b,c,d$ が与えられていないため、具体的な値は計算できません。例えば、$a=1, b=2, c=3, d=4$ とすると、

$f(1)+f(2)+f(3)+f(4) = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ となります。

(4) $F(b+|a-d|)$ の値：

$a, b, d$ が与えられていないため、具体的な値は計算できません。例えば、$a=1, b=2, d=4$ とすると、

$F(2+|1-4|) = F(2+3) = F(5) = \frac{5}{12}$ となります。

(5) $f(2\mu-d-1)$ の値：

$d$ が与えられていないため、具体的な値は計算できません。$\mu = 6.5$ より、 $f(2 \cdot 6.5 - d - 1) = f(13 - d - 1) = f(12 - d)$ となります。 例えば、$d = 2$ とすると、$f(12 - 2) = f(10) = \frac{1}{12}$ となります。

(6) $F(\sigma^2 - d)$ の値：

$\sigma^2 \approx 11.92$ より、$F(11.92 - d)$ となります。$d$ が与えられていないため、具体的な値は計算できません。$F(x)$ は $x$ が整数で定義されているため、$F(11.92 - d)$ を計算する際には、小数点以下を切り捨てるか、または最も近い整数値を使用する必要があります。例えば、$d = 2$ とすると、$F(11.92 - 2) = F(9.92) \approx F(9) = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ となります。

(7) 適切な選択肢の選択:

サイコロの目は同様に確からしいので、$f(x)$ は定数関数であり、$F(x)$ は階段関数です。

* 選択肢1: $f(a)+f(12-a) = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$. $f(6) = \frac{1}{12}$. よって、正しくありません。

* 選択肢2: $x=10$ は $x=3$ と $x=7$ の和ですが、$f(10) = \frac{1}{12}$、$f(3)+f(7) = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$. よって正しくありません。

* 選択肢3: $F(a)+F(12-a) = \frac{a}{12} + \frac{12-a}{12} = \frac{12}{12} = 1$. $F(6) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$. よって正しくありません。

* 選択肢4: $x=10$ は $x=3$ と $x=7$ の和ですが、$F(10) = \frac{10}{12}$、$F(3)+F(7) = \frac{3}{12} + \frac{7}{12} = \frac{10}{12}$. よって正しいです。

* 選択肢5: $f(x)$ は離散的な値しか取らないので、連続ではありません。

* 選択肢6: $F(x)$ も離散的な値しか取らないので、連続ではありません。

したがって、適切な選択肢は④です。

(8) 設問2に対するキーワード:

「確率分布」

3. 最終的な答え

表：上記参照

$f(a)+f(b)+f(c)+f(d)$、 $F(b+|a-d|)$、 $f(2\mu-d-1)$、 $F(\sigma^2 - d)$ の値：上記の計算手順参照（具体的な値は $a,b,c,d$ の値に依存）

適切な選択肢：④

キーワード：「確率分布」