$f(x) = (x^5 + 1)(3x^2 - 5)$ の導関数を求める。

## 問題 7 (1)

1. 問題の内容

$f(x) = (x^5 + 1)(3x^2 - 5)$ の導関数を求める。

2. 解き方の手順

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いる。

$u = x^5 + 1$ と $v = 3x^2 - 5$ とおく。

$u' = 5x^4$

$v' = 6x$

したがって、

$f'(x) = (5x^4)(3x^2 - 5) + (x^5 + 1)(6x)$

$= 15x^6 - 25x^4 + 6x^6 + 6x$

$= 21x^6 - 25x^4 + 6x$

3. 最終的な答え

$f'(x) = 21x^6 - 25x^4 + 6x$

## 問題 7 (2)

1. 問題の内容

$f(x) = \frac{1}{(4x+1)^3}$ の導関数を求める。

2. 解き方の手順

$f(x) = (4x+1)^{-3}$ と変形し、合成関数の微分公式を用いる。

$u = 4x+1$ とおくと、$\frac{du}{dx} = 4$

$f(x) = u^{-3}$ より $\frac{df}{du} = -3u^{-4}$

したがって、

$f'(x) = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -3(4x+1)^{-4} \cdot 4 = -12(4x+1)^{-4} = \frac{-12}{(4x+1)^4}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{-12}{(4x+1)^4}$

## 問題 9 (1)

1. 問題の内容

$\int (x^5 - 3x^4 + 5x^3 + 3) dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

各項ごとに積分を行う。

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (Cは積分定数)

$\int (x^5 - 3x^4 + 5x^3 + 3) dx = \int x^5 dx - 3\int x^4 dx + 5\int x^3 dx + 3\int dx$

$= \frac{x^6}{6} - 3\frac{x^5}{5} + 5\frac{x^4}{4} + 3x + C$

3. 最終的な答え

$\frac{x^6}{6} - \frac{3}{5}x^5 + \frac{5}{4}x^4 + 3x + C$

## 問題 9 (2)

1. 問題の内容

$\int (\sqrt[3]{x^5} - \frac{1}{x^2}) dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

各項ごとに積分を行う。

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (Cは積分定数)

$\sqrt[3]{x^5} = x^{\frac{5}{3}}$

$\frac{1}{x^2} = x^{-2}$

$\int (\sqrt[3]{x^5} - \frac{1}{x^2}) dx = \int (x^{\frac{5}{3}} - x^{-2}) dx = \int x^{\frac{5}{3}} dx - \int x^{-2} dx$

$= \frac{x^{\frac{8}{3}}}{\frac{8}{3}} - \frac{x^{-1}}{-1} + C = \frac{3}{8}x^{\frac{8}{3}} + \frac{1}{x} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{8}x^{\frac{8}{3}} + \frac{1}{x} + C$

## 問題 10 (1)

1. 問題の内容

$\int_{-2}^2 (x^4 + 2x + 1) dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

定積分を計算する。

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

$\int_{-2}^2 (x^4 + 2x + 1) dx = [\frac{x^5}{5} + x^2 + x]_{-2}^2$

$= (\frac{2^5}{5} + 2^2 + 2) - (\frac{(-2)^5}{5} + (-2)^2 + (-2))$

$= (\frac{32}{5} + 4 + 2) - (\frac{-32}{5} + 4 - 2) = \frac{32}{5} + 6 + \frac{32}{5} - 2 = \frac{64}{5} + 4 = \frac{64 + 20}{5} = \frac{84}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{84}{5}$

## 問題 10 (2)

1. 問題の内容

$\int_1^2 (\sqrt{x^3} + x^2) dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

定積分を計算する。

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

$\sqrt{x^3} = x^{\frac{3}{2}}$

$\int_1^2 (\sqrt{x^3} + x^2) dx = \int_1^2 (x^{\frac{3}{2}} + x^2) dx = [\frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + \frac{x^3}{3}]_1^2$

$= [\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + \frac{x^3}{3}]_1^2 = (\frac{2}{5}(2)^{\frac{5}{2}} + \frac{2^3}{3}) - (\frac{2}{5}(1)^{\frac{5}{2}} + \frac{1^3}{3})$

$= (\frac{2}{5} \cdot 4\sqrt{2} + \frac{8}{3}) - (\frac{2}{5} + \frac{1}{3}) = \frac{8\sqrt{2}}{5} + \frac{8}{3} - \frac{2}{5} - \frac{1}{3} = \frac{8\sqrt{2}}{5} + \frac{7}{3} - \frac{2}{5} = \frac{8\sqrt{2}}{5} + \frac{35 - 6}{15} = \frac{8\sqrt{2}}{5} + \frac{29}{15}$

3. 最終的な答え

$\frac{8\sqrt{2}}{5} + \frac{29}{15}$