男子3人と女子2人が5人掛けの長椅子に座る時、以下の問いに答える問題です。 (1) 座り方は全部で何通りあるか。 (2) 両端に男子が座るような座り方は何通りあるか。 (3) 女子2人が隣り合わないような座り方は何通りあるか。 (4) 男子と女子が交互に座るような座り方は何通りあるか。

1. 問題の内容

男子3人と女子2人が5人掛けの長椅子に座る時、以下の問いに答える問題です。

(1) 座り方は全部で何通りあるか。

(2) 両端に男子が座るような座り方は何通りあるか。

(3) 女子2人が隣り合わないような座り方は何通りあるか。

(4) 男子と女子が交互に座るような座り方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 5人全員の並び方なので、5の階乗を計算します。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

(2) 両端に男子が座る場合、まず両端に座る男子2人の選び方は $_3P_2 = 3 \times 2 = 6$ 通りです。

残りの3人の並び方は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通りです。

したがって、両端に男子が座る座り方は $6 \times 6 = 36$ 通りです。

(3) まず、5人の並び方は全部で120通りです。

次に、女子2人が隣り合う場合を考えます。女子2人をひとまとめにして考えると、4人（男子3人＋女子のペア1組）の並び方は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通りです。

さらに、女子のペアの中で2人の並び方が2通りあるので、$24 \times 2 = 48$ 通りです。

女子2人が隣り合わない座り方は、全体の座り方から女子2人が隣り合う座り方を引けばよいので、$120 - 48 = 72$通りです。

(4) 男子と女子が交互に座るためには、男子と女子の配置は「男、女、男、女、男」の順になるしかありません。

男子の座り方は3人の並び順なので $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通りです。

女子の座り方は2人の並び順なので $2! = 2 \times 1 = 2$ 通りです。

したがって、男子と女子が交互に座る座り方は $6 \times 2 = 12$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 120通り

(2) 36通り

(3) 72通り

(4) 12通り