放物線 $y = x^2 - 3x$ と直線 $y = x + k$ が接するときの定数 $k$ の値を求め、そのときの接点の座標を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 3x$ と直線 $y = x + k$ が接するときの定数 $k$ の値を求め、そのときの接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、放物線と直線が接するという条件から、$k$ の値を求めます。

放物線と直線の式を連立させると、

$x^2 - 3x = x + k$

$x^2 - 4x - k = 0$

この2次方程式が重解を持つとき、放物線と直線は接します。したがって、判別式 $D$ が $0$ になる条件を使います。

$D = (-4)^2 - 4(1)(-k) = 16 + 4k = 0$

$4k = -16$

$k = -4$

$k = -4$ を $x^2 - 4x - k = 0$ に代入して、$x$ の値を求めます。

$x^2 - 4x - (-4) = 0$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x - 2)^2 = 0$

$x = 2$

$x = 2$ を $y = x + k$ に代入して、$y$ の値を求めます。

$y = 2 + (-4) = -2$

したがって、接点の座標は $(2, -2)$ となります。

3. 最終的な答え

$k = -4$

接点の座標: $(2, -2)$