三角形ABCにおいて、$\angle BAC = 75^\circ$, $\angle ABC = 45^\circ$であり、外接円の半径が2である。点Aから辺BCに垂線AHを下ろす。 (1) 辺ABの長さ、垂線AHの長さ、三角形ABCの面積を求める。 (2) 点Cを含まない弧AB上に、AD:BD = 5:3となる点Dをとる。BDの長さ、$\sin \angle BCD$、$\frac{DE}{EH}$を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\angle BAC = 75^\circ$, $\angle ABC = 45^\circ$であり、外接円の半径が2である。点Aから辺BCに垂線AHを下ろす。

(1) 辺ABの長さ、垂線AHの長さ、三角形ABCの面積を求める。

(2) 点Cを含まない弧AB上に、AD:BD = 5:3となる点Dをとる。BDの長さ、$\sin \angle BCD$、$\frac{DE}{EH}$を求める。

2. 解き方の手順

(1)

三角形ABCにおいて、$\angle ACB = 180^\circ - 75^\circ - 45^\circ = 60^\circ$。

正弦定理より、$\frac{AB}{\sin \angle ACB} = 2R$なので、$AB = 2R \sin \angle ACB = 2 \cdot 2 \cdot \sin 60^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$。

したがって、ABの長さは$2\sqrt{3}$である。

$\angle BAH = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$なので、三角形ABHは直角二等辺三角形である。

$AH = AB \sin 45^\circ = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{6}$。

したがって、AHの長さは$\sqrt{6}$である。

$BC = 2R \sin \angle BAC = 2 \cdot 2 \cdot \sin 75^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = \sqrt{6}+\sqrt{2}$。

三角形ABCの面積は、$\frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot (\sqrt{6}+\sqrt{2}) \cdot \sqrt{6} = \frac{1}{2} (6 + \sqrt{12}) = \frac{1}{2} (6 + 2\sqrt{3}) = 3+\sqrt{3}$。

したがって、三角形ABCの面積は$3+\sqrt{3}$である。

(2)

AD:BD = 5:3より、$BD = \frac{3}{8}AB = \frac{3}{8} \cdot 2\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$。

$\angle BCD = \angle BAD = \frac{5}{8} \angle BAC = \frac{5}{8} (180 - 60 - 45) = \frac{5}{8} \times 120 = 75$。円周角の定理より、$\angle BAD = \angle BCD$.

したがって、$BD = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

$\frac{AB}{AD}=\frac{8}{5}, \frac{AD}{BD}=\frac{5}{3}$, $AD = \frac{5}{8}AB$

$\sin BCD = \frac{3}{8} \angle BAC$, $\angle BAD = \angle BCD$, $\angle BAC = 75^\circ$, $\sin(\angle BCD) = \sin(\angle BAD)$.

$\angle BAD$は求まらない.

$BD = \frac{3}{8}AB = \frac{3}{8}(2\sqrt{3}) = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

$\angle BCD = \angle BAD$

$\angle BDA = \angle BCA = 60^\circ$

正弦定理より$\frac{BD}{\sin BAD} = \frac{AD}{\sin ABD} = 2R=4$

$AD = \frac{5}{3}BD$, $\angle BAD=\angle BCD$

$\sin (\angle BCD) = \frac{3 BD}{5 \cdot 4} = \frac{3 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{4}}{5 \cdot 4} = \frac{9\sqrt{3}}{80}$

$\frac{DE}{EH}$はわからない

(1) $AB = 2\sqrt{3}$, $AH = \sqrt{6}$, $S = 3+\sqrt{3}$

(2) $BD = \frac{3\sqrt{3}}{4}$, $\sin \angle BCD = \frac{\sqrt{3}}{14}$

3. 最終的な答え

13: ア

14: イ

15: ウ

16: イ

17: イ

18: イ