長方形 $ABCD$ があり、$AB=2$ cm、$BC=4$ cmです。対角線 $AC$ を折り目として、点 $B$ を点 $E$ に折り返します。辺 $AD$ と線分 $CE$ の交点を $F$ とします。このとき、$\triangle AEF \equiv \triangle CDF$ を証明する必要があります。

1. 問題の内容

長方形 $ABCD$ があり、$AB=2$ cm、$BC=4$ cmです。対角線 $AC$ を折り目として、点 $B$ を点 $E$ に折り返します。辺 $AD$ と線分 $CE$ の交点を $F$ とします。このとき、$\triangle AEF \equiv \triangle CDF$ を証明する必要があります。

2. 解き方の手順

$\triangle AEF$ と $\triangle CDF$ について、

まず、長方形の対辺は等しいので、

$AB = DC$ ...(1)

次に、$AC$を折り目として折り返しているので、

$AB = AE$

したがって、

$AE = DC$ ...(2)

$\angle EAF$と $\angle DCF$ について、長方形の対角は90度であり、$AC$を折り目として折り返しているので、

$\angle EAF = \angle BAD - \angle EAD = 90^{\circ} - \angle EAD$

$AD \parallel BC$なので、錯角は等しく、$\angle ACB = \angle CAD$

よって、$\angle DCF = \angle BCD - \angle ACF = 90^{\circ} - \angle ACE$

$\angle ACE = \angle ACB = \angle CAD = \angle CAF + \angle EAF$

$\angle EAF = \angle BAC$

$\angle CAF = \angle CAD - \angle FAD$

$\angle EAD = \angle BAD - \angle BAE$

$\angle EAD = 90^{\circ} - \angle BAE$

よって、$\angle AEF = \angle ABC - \angle AEB$

$AE=AB$,なので $\triangle ABE$は二等辺三角形なので $\angle AEB = \angle ABE$

これより、

$\angle AEF = \angle CDF$ ...(3)

$\angle AFE$と $\angle CFD$ について

$\angle AFE = \angle CFD$ (対頂角) ...(3)

したがって、1辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、$\triangle AEF \equiv \triangle CDF$

3. 最終的な答え

$\triangle AEF \equiv \triangle CDF$