円 $x^2 + y^2 = r^2$ と直線 $3x + 4y - 5 = 0$ が接するとき、半径 $r$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = r^2$ と直線 $3x + 4y - 5 = 0$ が接するとき、半径 $r$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

円の中心 $(0, 0)$ と直線 $3x + 4y - 5 = 0$ の距離が半径 $r$ に等しいことを利用します。点と直線の距離の公式は、点 $(x_1, y_1)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ が

$d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

で与えられるというものです。

この公式を用いて、円の中心 $(0, 0)$ と直線 $3x + 4y - 5 = 0$ の距離を計算すると、

$r = \frac{|3(0) + 4(0) - 5|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|-5|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{5}{\sqrt{25}} = \frac{5}{5} = 1$

したがって、半径 $r$ は1です。

3. 最終的な答え

$r = 1$